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In analisi matematica, la semicontinuità di una funzione reale è una proprietà più debole della continuità. Intuitivamente, se una funzione continua in un punto è localmente limitata, una funzione semicontinua inferiormente (o superiormente) in un punto sarà localmente solo limitata inferiormente (o superiormente).
La definizione di semicontinuità, come quella di continuità, si può porre anche in uno spazio astratto come uno spazio topologico.
Una funzione definita in uno spazio topologico si dice semicontinua inferiormente (s.c.i.) in se per ogni esiste un intorno tale che:
per ogni in . Equivalentemente, si dice semicontinua inferiormente in se:
dove è il limite inferiore di in [1]. Una funzione semicontinua inferiormente ha dunque tutte le immagini definitamente sopra o vicino al valore .
Una funzione si dice semicontinua superiormente in (s.c.s.) se per ogni esiste un intorno tale che:
per ogni in . Equivalentemente, si dice semicontinua superiormente in se:
dove è il limite superiore di in . Una funzione semicontinua superiormente ha dunque tutte le immagini definitamente sotto o vicino al valore .
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