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In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.[1]
La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).
Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.
Un blocco di Jordan di ordine è una matrice triangolare superiore con righe costituita nel seguente modo:
in cui ogni elemento della diagonale è uguale a ed in ogni posizione si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è , e quindi ha come unico autovalore con la molteplicità algebrica . D'altra parte, l'autospazio relativo a è:
avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.
Una matrice in forma canonica di Jordan o matrice di Jordan è una matrice diagonale a blocchi di Jordan, cioè del tipo:
dove è un blocco di Jordan con autovalore . Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a .
La molteplicità geometrica di , definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore . D'altra parte, la molteplicità algebrica di , definita come la molteplicità della radice nel polinomio caratteristico di , è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore .
In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.
Si dice che una matrice quadrata con elementi in un campo ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di . Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se è algebricamente chiuso, ad esempio se è il campo dei numeri complessi.
Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:
Si vuole calcolare la forma canonica di Jordan della matrice
Il suo polinomio caratteristico è , quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Si ricorda che, se si indica con e le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore , valgono sempre le seguenti disuguaglianze:
Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di Jordan presenti relativi a quell'autovalore. Si vede che:
Segue quindi che non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati in possesso sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:
Il polinomio minimo di una matrice è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan . Infatti si decompone come:
dove sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di , e è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore .
Ad esempio, la seguente matrice:
ha come polinomio caratteristico e come polinomio minimo.
Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici
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