Energia totale relativistica

L'energia totale relativistica ${\displaystyle E}$, nella teoria della relatività ristretta, è data dall'Energia a riposo ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ a cui va aggiunta l'Energia cinetica relativistica ${\displaystyle K=(\gamma -1)\,mc^{2}}$ :

${\displaystyle E=E_{0}+K=mc^{2}+(\gamma -1)\,mc^{2}=\gamma \,m\,c^{2}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

dove:

• ${\displaystyle m}$ è la massa invariante della particella
• ${\displaystyle c}$ è la velocità della luce
• ${\displaystyle \gamma }$ è il fattore di Lorentz
• ${\displaystyle p=\gamma \,mv}$ è la quantità di moto relativistica

Si è qui usata la notazione moderna,^[1][2] che denota con m la massa invariante a ogni velocità v < c (numericamente coincidente con la massa a riposo ${\displaystyle m_{0}}$) e conseguentemente si scrive:

${\displaystyle E=\gamma \,mc^{2}}$

per l'energia relativistica totale e

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

per l'energia a riposo.

Approssimazione per basse velocità

L'energia cinetica relativistica ${\displaystyle K}$ è data dalla differenza tra l'energia totale ${\displaystyle E=\gamma \,mc^{2}}$ e l'energia a riposo ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$:

${\displaystyle K=E-E_{0}=\gamma \,mc^{2}-mc^{2}=\left(\gamma -1\right)\,mc^{2}}$

che per piccole velocità (v ≪ c) è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,mv^{2}}$.

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo ${\displaystyle \gamma }$ in serie di Taylor:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\simeq 1\,+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}$.

Inserendolo nell'equazione originaria, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:

${\displaystyle K\simeq {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}mc^{2}\simeq {\frac {1}{2}}\,mv^{2}}$.

L'energia totale relativistica comprende anche l'energia a riposo del corpo (che dipende solo dalla massa a riposo), che non compare invece nella definizione classica dell'energia. L'espressione dell'energia cinetica relativistica è invece equivalente a quella classica per basse velocità v rispetto a c. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.

Note

1. (EN) Lev B. Okun, The concept of mass (PDF), in Physics Today, vol. 42, 1989, pp. 31-36.
2. Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica (PDF), in La Fisica nella Scuola, vol. 14, n. 25, 1981.

Voci correlate

• Energia a riposo
• Teoria della relatività ristretta
• E = mc²
• Energia totale
• Cinematica relativistica

Collegamenti esterni

• Energia relativistica, su openfisica.com. URL consultato il 9 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 22 settembre 2009).

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