Disuguaglianza di Bonse

In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907^[1]. Detto ${\displaystyle p_{n}}$ l'${\displaystyle n}$-esimo numero primo, essa afferma che

${\displaystyle p_{n+1}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>3}$. Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero ${\displaystyle n}$ con la seguente proprietà: se un numero naturale ${\displaystyle k}$, con ${\displaystyle 1<k<n}$, è tale che il massimo comune divisore ${\displaystyle (n,k)=1}$, allora ${\displaystyle k}$ è un numero primo.

Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:

${\displaystyle p_{n+1}^{3}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>5}$.

Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:

${\displaystyle p_{n+1}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.

Miglioramenti e disuguaglianze analoghe

M. Dalezman dimostrò nel 2000^[2] che

${\displaystyle p_{n+1}p_{n+2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>3}$.

J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988^[3], tra cui:

${\displaystyle p_{n+5}^{2}+p_{[{\frac {n}{2}}]}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>23}$.

L. Pósa dimostrò nel 1960^[4] che, per ogni ${\displaystyle k>1}$, esiste ${\displaystyle n_{k}}$ tale che:

${\displaystyle p_{n+1}^{k}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n\geq n_{k}}$.

L. Panaitopol dimostrò nel 2000^[5] che è sufficiente scegliere ${\displaystyle n_{k}=2k}$ e, in particolare, dimostrò che:

${\displaystyle p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

dove ${\displaystyle \pi (x)}$ è la funzione enumerativa dei primi.

Note

1. H. Bonse, Üer eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, Arch. Math. Phys. 12 (1907), pp. 292–295.
2. M. Dalezman, From 30 to 60 is Not Twice as Hard, Mathematics Magazine 73 (2000) pp. 151–153
3. J. Sandór, Uber die Folge der Primzahlen, Mathematica (Cluj), 30(53)(1988), 67–74
4. L. Pósa, Über eine Eigenschaft der Primzahlen, Mat. Lapok, 11(1960), 124–129.
5. L. Panaitopol, An inequality involving prime numbers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 11 (2000), pp. 3–35.

Bibliografia

• J. V. Uspensky, M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, McGraw Hill, 1939, p. 87, ISBN 978-0-07-066750-1.
• Hans Rademacher, Otto Toplitz, The enjoyment of mathematics, Princeton Univ. Press, 1957.
• David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, Wiley, 2005, p. 21, ISBN 0-471-46234-9.
• Robert J. Betts, Using Bonse's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online.
• G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online.
• József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online

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