Disuguaglianza di Bonse

In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907^[1]. Detto ${\displaystyle p_{n}}$ l'${\displaystyle n}$-esimo numero primo, essa afferma che

${\displaystyle p_{n+1}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>3}$. Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero ${\displaystyle n}$ con la seguente proprietà: se un numero naturale ${\displaystyle k}$, con ${\displaystyle 1<k<n}$, è tale che il massimo comune divisore ${\displaystyle (n,k)=1}$, allora ${\displaystyle k}$ è un numero primo.

Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:

${\displaystyle p_{n+1}^{3}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>5}$.

Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:

${\displaystyle p_{n+1}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.

Miglioramenti e disuguaglianze analoghe

M. Dalezman dimostrò nel 2000^[2] che

${\displaystyle p_{n+1}p_{n+2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>3}$.

J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988^[3], tra cui:

${\displaystyle p_{n+5}^{2}+p_{[{\frac {n}{2}}]}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n>23}$.

L. Pósa dimostrò nel 1960^[4] che, per ogni ${\displaystyle k>1}$, esiste ${\displaystyle n_{k}}$ tale che:

${\displaystyle p_{n+1}^{k}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

per ${\displaystyle n\geq n_{k}}$.

L. Panaitopol dimostrò nel 2000^[5] che è sufficiente scegliere ${\displaystyle n_{k}=2k}$ e, in particolare, dimostrò che:

${\displaystyle p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}p_{2}...p_{n}}$

dove ${\displaystyle \pi (x)}$ è la funzione enumerativa dei primi.