In teoria delle probabilità una distribuzione discreta è una distribuzione di probabilità definita su un insieme discreto S . In particolare questo insieme può essere finito oppure numerabile (i suoi elementi possono essere elencati tramite i numeri naturali :
S
=
{
s
0
,
s
1
,
s
2
,
.
.
.
}
{\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},...\}}
La funzione di massa di probabilità (PMF) p (s) Specifica la distribuzione della probabilità per la somma S di conteggi da due dadi. Una variabile aleatoria (o stocastica , o casuale dall'inglese random ) è discreta se segue una distribuzione di probabilità discreta.
Se l'insieme S è contenuto nei numeri reali , si può definire la funzione di ripartizione della distribuzione, che assume valori su S ; se viene rappresentata su tutti numeri reali allora acquista la forma di una funzione a gradini , costante sugli intervalli semiaperti
[
s
n
,
s
n
+
1
[
{\displaystyle [s_{n},s_{n+1}[}
Particolari distribuzioni discrete di probabilità sono:
la distribuzione discreta uniforme ,
la distribuzione binomiale ,
la distribuzione di Bernoulli ,
la distribuzione di Poisson (o degli eventi rari ),
la distribuzione geometrica ,
la distribuzione di Pascal ,
la distribuzione ipergeometrica ,
la distribuzione di Wilcoxon ,
la distribuzione di Benford (o della prima cifra ),
la distribuzione di Kolmogorov-Smirnov ,
la distribuzione di Spearman ,
la distribuzione di Rademacher
la distribuzione binomiale negativa Un caso particolare è la distribuzione degenere su un solo elemento:
S
=
{
s
}
{\displaystyle S=\{s\}}
P
(
s
)
=
1
{\displaystyle P(s)=1}
Anche le distribuzioni su più dimensioni (multivariate ) possono essere discrete, come la distribuzione multinomiale .
La tabella seguente riassume le proprietà delle distribuzioni discrete più comuni, si intende
N
+
:=
{
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {N} ^{+}:=\{1,2,\ldots \}}
N
:=
N
+
∪
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {N} :=\mathbb {N} ^{+}\cup \{0\}}
Ulteriori informazioni
Distribuzione Parametri Supporto Funzione di probabilità Valore atteso Varianza
Bernoulliana
p
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle p\in [0,1]}
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
P
(
0
)
=
1
−
p
,
P
(
1
)
=
p
{\displaystyle P(0)=1-p,\;P(1)=p}
p
{\displaystyle p}
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle p(1-p)}
Uniforme
n
∈
N
+
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}
{
1
,
2
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}
P
(
k
)
=
1
n
{\displaystyle P(k)={\frac {1}{n}}}
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle (n+1)/2}
n
2
−
1
12
{\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}}
Geometrica
p
∈
]
0
,
1
[
{\displaystyle p\in \;]0,1[}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
P
(
k
)
=
p
(
1
−
p
)
k
−
1
{\displaystyle P(k)=p(1-p)^{k-1}}
1
p
{\displaystyle {\frac {1}{p}}}
1
−
p
p
2
{\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}
Binomiale
p
∈
[
0
,
1
]
,
n
∈
N
{\displaystyle p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N} }
{
0
,
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{0,1,\ldots ,n\}}
P
(
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle P(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}
n
p
{\displaystyle np}
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle np(1-p)}
di Pascal
p
∈
[
0
,
1
]
,
n
∈
N
{\displaystyle p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N} }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
P
(
k
)
=
(
−
n
k
)
p
k
(
p
−
1
)
n
−
k
{\displaystyle P(k)={\binom {-n}{k}}p^{k}(p-1)^{n-k}}
n
(
1
p
−
1
)
{\displaystyle n\left({\frac {1}{p}}-1\right)}
n
(
1
p
2
−
1
p
)
{\displaystyle n\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}\right)}
Ipergeometrica
n
∈
N
,
r
,
h
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;r,h\in \{0,1,\ldots ,n\}}
{
0
,
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{0,1,\ldots ,n\}}
P
(
k
)
=
(
h
k
)
(
n
−
h
r
−
k
)
(
n
r
)
{\displaystyle P(k)={\frac {{\binom {h}{k}}{\binom {n-h}{r-k}}}{\binom {n}{r}}}}
r
h
n
{\displaystyle {\frac {rh}{n}}}
r
(
n
−
r
)
h
(
n
−
h
)
n
2
(
n
−
1
)
{\displaystyle {\frac {r(n-r)h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}}
Chiudi
.svg)
, 
...
![{\displaystyle p\in \;]0,1[}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d3f1a18489e48981ec7a343f4b5580bb196593)
![{\displaystyle p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48a8ac1a9c92d4973e55d388cb2aecddc8652c6)
