Distribuzione di Bernoulli

In teoria delle probabilità la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) è una distribuzione di probabilità su due soli valori: ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$,^[1] detti anche fallimento e successo. Prende il nome dallo scienziato svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705).

Distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$
Funzione di distribuzione discreta Tre esempi di distribuzioni di Bernoulli:      ${\displaystyle P(x=0)=0,2}$ e ${\displaystyle P(x=1)=0,8}$      ${\displaystyle P(x=0)=0,8}$ e ${\displaystyle P(x=1)=0,2}$      ${\displaystyle P(x=0)=0,5}$ e ${\displaystyle P(x=1)=0,5}$
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle q=1-p}$
Supporto	${\displaystyle \{0,1\}\ }$
Funzione di densità	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}q=1-p&{\text{se }}x=0\\p&{\text{se }}x=1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{se }}x<0\\1-p&{\text{se }}0\leq x<1\\1&{\text{se }}x\geq 1\end{cases}}}$
Valore atteso	${\displaystyle p\ }$
Varianza	${\displaystyle pq\ }$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {1}{pq}}-6}$
Entropia	${\displaystyle -q\log(q)-p\log(p)\ }$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle q+pe^{t}\ }$
Funzione caratteristica	${\displaystyle q+pe^{it}\ }$

Definizione

Una variabile aleatoria discreta ${\displaystyle X}$ ha distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ di parametro ${\displaystyle p\in [0,1]}$ se e solo se

${\displaystyle P(X=1)=p,}$

${\displaystyle P(X=0)=q=1-p,}$

ossia

${\displaystyle P(X=i)=p^{i}(1-p)^{1-i}}$ per ${\displaystyle i=0,1.}$

Il valore atteso è

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=0\cdot p^{0}(1-p)^{1-0}+1\cdot p^{1}(1-p)^{1-1}=p,}$

e la varianza è

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)=pq=p(1-p).}$

Altre leggi

Un processo di Bernoulli è una successione di variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{i}}$ di uguale distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$, dette prove di Bernoulli. Da tale processo si possono definire le seguenti ulteriori leggi. La distribuzione binomiale descrive la probabilità del numero di successi in ${\displaystyle n}$ prove di Bernoulli, ovvero della variabile aleatoria

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}.}$

La distribuzione geometrica e più in generale la distribuzione di Pascal descrivono il tempo del primo e del ${\displaystyle k}$-esimo successo rispettivamente, ovvero le variabili aleatorie ${\displaystyle T=T_{1}}$ e ${\displaystyle T_{k}}$ definite come

${\displaystyle T_{k}=\min\{t\colon S_{t}=k\}.}$