Il caso è immediata conseguenza della definizione di minimo, nel seguito si supporrà sempre e si escluderà il caso limite .
Si consideri definita in un numero finito di punti .
Posto al variare di la successione di insiemi sia tale che e che sia un insieme denso in ,
per cui ogni intorno di ogni punto di contiene un elemento di uno degli insiemi .
Sia un numero reale positivo tale che
Sia l'evento così definito: .
Avendo escluso il caso limite è sicuramente .
Siano gli eventi così definiti: e sia il primo k fra i che definiscono .
dato che è evidentemente . Si dimostrerà ora la (2.1):
(2.1)
Dalla definizione degli eventi , , per cui . Si verificherà ora che vale anche la relazione per cui resterà provata la (2.1).
La definizione di , la continuità di e l'ipotesi implicano, per il teorema dei valori intermedi, .
Dalla continuità di e dall'ipotesi che sia denso in si deduce che tale che per risulti ,
quindi da cui la (2.1).
(2.2)
La (2.2) si deduce dalla (2.1) considerando che , per cui la successione delle probabilità è monotona non decrescente e quindi converge al suo estremo superiore. Per la definizione degli eventi , e per la (2.2) .
Nel seguito si assume sempre , per cui è ben definito.
(2.3)
Infatti dato che per definizione di è , vale la relazione .
In modo analogo dato che per definizione di è , vale la relazione (2.4):
(2.4)
(2.5)
Infatti la variabile casuale ;\ \ \sigma ^{2}(b-t_{\nu }))}
ha una densità di probabilità simmetrica rispetto alla sua media che è zero.
Mettendo in sequenza le relazioni (2.3), (2.5) e (2.4) si ottiene la (2.6) :
(2.6)
Con lo stesso procedimento usato per ottenere (2.3), (2.4) e (2.5) sfruttando questa volta la relazione si ottiene la (2.7):
(2.7)
Applicando successivamente (2.6) e (2.7) si ha:
(2.8)
Da , per la continuità di e il teorema dei valori intermedi , da cui
Sostituendo in (2.8) e passando ai limiti: mentre per l'evento converge a
(2.9)
, sostituendo con nella (2.9) si ottiene l'equivalente:
(2.10)
Applicando il teorema di Bayes all'evento congiunto
(2.11)
Ponendo risulta
(2.12)
Sostituendo la (2.12) nella (2.11), si ottiene l'equivalente:
(2.13)
Sostituendo (2.9) e (2.10) nella (2.13):
(2.14)
Si osservi che nel secondo membro della (2.14) compare la distribuzione di probabilità della variabile casuale , normale con media e varianza .
Ai valori delle realizzazioni e della variabile casuale corrispondono rispettivamente le densità di probabilità:
(2.15)
(2.16)
Sostituendo (2.15) e (2.16) nella (2.14) e prendendo il limite per si è dimostrata la tesi: