Teorema di esistenza del limite di successioni monotone

Il teorema di esistenza del limite di successioni monotone è un teorema di analisi matematica che asserisce che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite.

Voce principale: Limite di una successione.

Enunciato

Il teorema afferma che una successione monotona ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ di numeri reali converge sempre ad un limite ${\displaystyle a}$; più precisamente, il limite di una successione crescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione decrescente è il suo estremo inferiore.

Tale limite è finito se e solo se ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ è limitata.

Esempi

La successione ${\displaystyle a_{n}=1/n}$:

${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots }$

è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:

${\displaystyle a=\inf\{a_{n}\}=0}$

La successione ${\displaystyle a_{n}=n}$:

${\displaystyle 1,2,3,\ldots \,\!}$

è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:

${\displaystyle a=\sup\{a_{n}\}=+\infty }$

Dimostrazione

Supponiamo la successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ sia monotona crescente.

Se la successione è illimitata, allora per ogni ${\displaystyle x}$ esiste un ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tale che ${\displaystyle a_{N}>x}$; di conseguenza, per la monotonia, ${\displaystyle a_{n}>x}$ per ogni ${\displaystyle n>N}$. Per definizione, allora, il limite di ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ è infinito.

Se la successione è limitata, sia ${\displaystyle a}$ il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste un ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tale che ${\displaystyle a_{N}>a-\epsilon }$; di conseguenza, ${\displaystyle a_{n}>a-\epsilon }$ per ogni ${\displaystyle n>N}$. Per definizione di limite, ${\displaystyle a}$ è il limite di ${\displaystyle \{a_{n}\}}$.

Nel caso in cui ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione ${\displaystyle \{-a_{n}\}}$ e poi applicare le proprietà dei limiti.

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza edizione, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.

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