Disequazione cubica

Una disequazione cubica è una disequazione che, una volta ridotta in forma canonica, ha grado pari a 3, cioè si può ricondurre a una forma del tipo:^[1]

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\;\;\;}$, oppure ${\displaystyle \;<,\;\leq ,\;\geq 0}$

con ${\displaystyle a\neq 0\;}$ e ${\displaystyle a,b,c}$ e ${\displaystyle d}$ numeri reali o complessi.

Metodi risolutivi

Non esiste un modo univoco per risolvere una disequazione di terzo grado; il metodo dipende dall'espressione che ha la disequazione data.

Regola di Ruffini

Un metodo, anche se non sempre applicabile, è la regola di Ruffini^[2]. Ad esempio la disequazione:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-5x+6>0}$

può essere scomposta con la regola di Ruffini nel prodotto:

${\displaystyle (x-1)(x+2)(x-3)>0}$

Studiando il segno dei singoli binomi e mettendoli a confronto tra loro, si vanno a trovare gli intervalli in cui il polinomio di terzo grado risulta positivo: in questo caso le soluzioni sono date da ${\displaystyle -2<x<1\;\lor \;x>3}$.

Metodo grafico

Quando la scomposizione con Ruffini non può essere utilizzata si può ricorrere al metodo grafico, che consiste nel riscrivere la disequazione generica:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\;}$,

nella forma:

${\displaystyle ax^{3}>-bx^{2}-cx-d\;}$.

Il primo e il secondo membro della disequazione possono essere visti come grafici di due funzioni:

${\displaystyle f(x)=ax^{3}\;\;\;}$ e ${\displaystyle \;\;\;g(x)=-bx^{2}-cx-d}$

dove la prima funzione è una cubica e la seconda è una parabola^[3].

Dato che il grado della disequazione è ${\displaystyle 3}$, in campo reale possono esserci al massimo tre punti in cui la cubica e la parabola si incontrano. Una volta tracciati i grafici su un piano cartesiano, si vanno a cercare (se ci sono) i punti di intersezione e si sceglie infine l'intervallo in cui il grafico della cubica sta sopra al grafico della parabola, cioè l'intervallo o gli intervalli in cui la funzione cubica è maggiore della parabola.

Nel metodo grafico non è possibile trovare il valore o i valori esatti che delimitano gli intervalli di soluzione poiché, se così fosse, il polinomio di terzo grado sarebbe scomponibile con Ruffini. I valori approssimati vanno cercati con metodi di approssimazione per la soluzione di equazioni, come per esemppio il metodo di bisezione o il metodo delle secanti.^[4]

Disequazioni binomie

Le disequazioni binomie sono nella forma:^[5]

${\displaystyle ax^{n}+d>0\;\;}$ oppure ${\displaystyle \;\;<,\leq ,\geq }$.

Quando si hanno ${\displaystyle b=c=0}$, la disequazione si riduce nella forma:

${\displaystyle ax^{3}+d>0}$

che è un caso particolare di disequazione binomia con ${\displaystyle n=3}$. Questo tipo di disequazione si risolve banalmente portando il termine noto ${\displaystyle d}$ a destra del segno di disuguaglianza ed estraendo successivamente la radice cubica, dopo aver diviso tutto per ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle ax^{3}>-d\;\;\;\to \;\;\;x^{3}>-{\frac {d}{a}}\;\;\;\to \,\;\;x>{\sqrt[{3}]{-{\frac {d}{a}}}}}$