Congettura di Schanuel

In matematica, la congettura di Schanuel afferma quanto segue:

Dato un insieme di ${\displaystyle n}$ numeri complessi ${\displaystyle (z_{1},...,z_{n})}$ linearmente indipendenti sull'insieme dei razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ allora la sua estensione di campi ${\displaystyle Q(z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$ ha grado di trascendenza almeno ${\displaystyle n}$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

La congettura è stata formulata da Stephen Schanuel nei primi anni sessanta ma ad oggi non solo non ne esiste una dimostrazione, ma pare che questa sia fuori portata^[1].

La congettura, se dimostrata, implicherebbe il Teorema di Lindemann-Weierstrass e quello di Gel'fond-Schneider, oltre ad altri risultati sulle proprietà trascendenti della funzione esponenziale, tra cui anche la non ancora dimostrata indipendenza algebrica di ${\displaystyle \pi }$ ed ${\displaystyle e}$.

L'enunciato inverso della Congettura di Schanuel è il seguente:

Siano ${\displaystyle F}$ un campo numerabile a caratteristica nulla ed ${\displaystyle e:F\rightarrow F}$ un omomorfismo dal gruppo additivo ${\displaystyle (F,+)}$ al gruppo moltiplicativo ${\displaystyle (F,\cdot )}$ il cui nucleo è ciclico. Si supponga inoltre che per ogni insieme di ${\displaystyle n}$ elementi ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ di ${\displaystyle F}$ linearmente indipendenti su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, l'estensione di campi ${\displaystyle Q(x_{1},...,x_{n},e(x_{1}),...,e(x_{n}))}$ abbia grado di trascendenza almeno ${\displaystyle n}$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Allora, sotto tali condizioni, esiste un omomorfismo di campo ${\displaystyle h:F\rightarrow C}$ tale per cui ${\displaystyle h(e(x))=e^{h(x)}}$ per ogni ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle F}$.

Note

1. Chow, T. Y. "What is a Closed-Form Number." Amer. Math. Monthly 106, 440-448, 1999.

Voci correlate

• Numero algebrico
• Numero trascendente
• Estensione di campi
• Problemi irrisolti in matematica

Collegamenti esterni

• http://mathworld.wolfram.com/SchanuelsConjecture.html
• https://www.answers.com/topic/schanuel-s-conjecture

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