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In matematica, in particolare in algebra lineare, il completamento a base è un algoritmo utile a completare un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale ad una base dello spazio.
Sia uno spazio vettoriale su un campo , di dimensione . Il teorema di completamento a base, anche detto teorema della base incompleta, asserisce che se sono vettori linearmente indipendenti in si ha:
La dimostrazione fornisce un algoritmo che consente di trovare concretamente i vettori . Sia un sottoinsieme di composto da vettori linearmente indipendenti. Si aggiunga al sottoinsieme una base nota dello spazio . Si ottiene quindi l'insieme ordinato:
L'insieme genera tutto lo spazio , ed è allora possibile applicare l'algoritmo di estrazione di una base. Questo algoritmo elimina, partendo da sinistra, quei vettori che sono dipendenti dai vettori precedenti. Poiché i primi sono indipendenti, l'algoritmo eliminerà soltanto alcuni dei vettori , ottenendo una base contenente .
I vettori e in sono indipendenti. Quindi esiste un terzo vettore che forma una base con questi due, e può essere trovato usando l'algoritmo di completamento. Si aggiunge quindi ai due vettori la base canonica:
L'algoritmo di estrazione mantiene i primi due vettori, quindi elimina il terzo e il quarto (entrambi generati dai primi due: A - B = C, -1 (A) + 2 B = D), e tiene di conseguenza il quinto. Si ottiene quindi la base:
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