Arcocoseno

In matematica, in particolare in trigonometria, l'arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biiettiva, quindi non invertibile. È possibile, però, applicare un restringimento del dominio e del codominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nell'intervallo ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$.^[1]

Disambiguazione – "Acos" rimanda qui. Se stai cercando il distretto peruviano, vedi Distretto di Acos.

Notazione

La notazione matematica dell'arcocoseno è ${\displaystyle \arccos }$; è comune anche la scrittura ${\displaystyle \cos ^{-1}}$. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ACOS e ACS.

Proprietà

Grafico della funzione ${\displaystyle y=\arccos(x)}$

L'arcocoseno è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i valori nell'intervallo ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$:^[2]

${\displaystyle \arccos \colon \left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right].}$

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$, essendo ${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)}$.

La derivata della funzione arcocoseno è:^{[3] [4]}

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

La serie di Taylor corrispondente è:^[5]

${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {3}{40}}x^{5}-{\frac {5}{112}}x^{7}-\cdots .}$

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

${\displaystyle \arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x}$.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcocoseni in un'espressione dove l'arcocoseno figura una volta sola:

${\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}}$.

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocoseno del rapporto fra il suo cateto adiacente e l'ipotenusa.^[6]