È stato un Gesuita, insegnante di matematica nella scuola militare presso Segovia. Dopo l'espulsione della Compagnia di Gesù dai territori dell'impero spagnolo nel 1767, Eximeno si stabilì a Roma, dove visse lungamente. Fu membro dell'Accademia dell'Arcadia col nome fra i pastori arcadi di Aristosseno Megareo[2].
Una delle sue opere principali fu Dell'origine e delle regole della musica colla storia del suo progresso, decadenza e rinnovazione (1774), scritta originalmente, come quasi tutte le sue opere principali, in italiano.
Entrò in polemica con Padre Martini e questo fatto produsse le riflessioni contenute nel saggio Dubbio di D.Antonio Eximano sopra il Saggio fondamentale (1775), a cui seguì un'altra opera fondamentale intitolata Risposte al giudizio delle efemeridi letterarie di Roma; infine, poco prima di morire, realizzò uno scritto satirico intitolato Don Lazarillo Vizcardi.
Tra le altre sue opere, citiamo Institutiones philosophicae et mathematicae (1796), Lo spirito di Machiavelli (1806), Apologia de Miguel Cervantes (1806).[3]
Institutiones Philosophicae Et Mathematicae: Volumen I, Dialecticam Et Rerum Quas Vulgo Metaphysicas Vocant Libros Tres Priores. Madrid: Imprenta Real, 1796.
Institutiones Philosophicae Et Mathematicae: Volumen II, Rerum Quas Vulgo Metaphysicas Vocant Libros Tres Posteriores Complectens.
Lo spirito del Machiavelli. Cesena, per gli eredi biasini all'insegna di Pallade, 1795.
Dubbio di D. Antonio Eximeno sopra il Saggio fondamentale pratico di contrappunto del Reverendissimo Padre Maestro Giambattista Martini. Roma, Michelangelo Barbiellini, 1775.
Don Lazarillo Vizcardi. Sus investigaciones músicas con ocasión del concurso a un Magisterio de Capilla Vacante... Dalas a luz la Sociedad de Bibliófilos Españoles, Intr. di Francisco Asenjo Barbieri, Madrid, Imp. de Rivadeneyra, 1872 y 1873, 2 voll. (romanzo).
Apología De Miguel De Cervantes Sobre Los Yerros Que Se Han Notado En El Quijote..., Madrid, Imp. de la Administración del Real Arbitrio, 1806.
Autobiografía inédita, edición de Daniel Devoto, [Buenos Aires], Gulab y Aldabahor, 1949.
