Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Classe di equivalenza
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In matematica, quando gli elementi di un insieme hanno una nozione di equivalenza (detta relazione di equivalenza), allora si può naturalmente dividere l'insieme
in classi di equivalenza. Queste classi di equivalenza sono costruite in modo che gli elementi
e
appartengono alla stessa classe di equivalenza se e solo se, sono equivalenti.
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Formalmente, dato un insieme e una relazione di equivalenza
su
la classe di equivalenza di un elemento
in
indicata con
[1]è l'insieme[2]
di elementi equivalenti ad Dalle proprietà che definiscono le relazioni di equivalenza si può dimostrare che le classi di equivalenza formano una partizione di
Questa partizione (l'insieme delle classi di equivalenza) viene detto insieme quoziente o spazio quoziente di
con
ed è indicato con
.
Quando l'insieme ha una struttura (come un'operazione di gruppo o una topologia) e la relazione di equivalenza
è compatibile con questa struttura, l'insieme quoziente spesso eredita una struttura simile dal suo insieme genitore. Esempi includono gli spazi quoziente in algebra lineare, gli spazi quoziente in topologia,
i gruppi quoziente, gli spazi quoziente, gli anelli quoziente, i monoidi quoziente e le categorie quoziente.