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La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.
La trasformata di Mellin di una funzione è data da:
Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:
dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.
La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:
e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:
La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva , che è invariante sotto traslazione:
mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale rispetto alla misura di Haar moltiplicativa , che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo , e dunque:
La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:
e viceversa:
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