In matematica, in particolare in analisi funzionale e algebra lineare, per teoria spettrale si intende l'estensione di alcuni concetti propri dell'algebra lineare, come quelli di autovettore e autovalore o spettro, ad un contesto matematico più generale, che ne consente l'utilizzo in ambiti molto diversi fra loro.[1][2] In particolare, la teoria spettrale è legata allo studio delle funzioni analitiche.[3]
Il nome di "teoria spettrale" è stato introdotto da David Hilbert nella sua formulazione originale della teoria degli spazi di Hilbert. L'iniziale versione del teorema spettrale era tuttavia una versione del teorema dell'asse principale di un ellissoide nell'ambito delle forme quadratiche in infinite variabili. Successivamente la teoria spettrale viene sfruttata per descrivere le caratteristiche dello spettro atomico in meccanica quantistica. Dopo la prima formulazione di Hilbert, difatti, lo sviluppo della teoria degli spazi di Hilbert e la teoria spettrale per operatori normali proseguì parallelamente alle esigenze del mondo fisico grazie al contributo di diverse personalità, tra cui von Neumann.[4]
In relazione con l'analisi armonica, la trasformata di Fourier sull'asse reale può essere vista come teoria spettrale per l'operatore di derivazione (considerando che le funzioni esponenziali sono le rispettive autofunzioni), anche se per avere una completa descrizione è necessario utilizzare autofunzioni generalizzate (ad esempio in uno spazio di Hilbert allargato).
Il teorema spettrale stabilisce le condizioni per cui un operatore lineare può essere scritto come somma di operatori più semplici, utilizzando una base composta dalle autofunzioni dell'operatore, in una procedura tipica dell'autoteoria.
Utilizzando la notazione bra-ket, una funzione
che agisce sulle coordinate
si può scrivere come:
![{\displaystyle f(x)=\langle x,f\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a18a50598600381c56eb761ffc5f95bd5e6ab4)
Il vettore
è solitamente visto come un elemento di uno spazio di Hilbert, e scegliendo il prodotto interno standard si definisce la sua norma:
![{\displaystyle \|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4067f7b27091dd04358977b3ac00664e139c536a)
dove
denota il complesso coniugato. Nel seguito la trattazione è valida per un prodotto interno generico.
Un operatore è, in tale contesto, una funzione (solitamente lineare) che agisce su un'altra funzione. Si consideri ad esempio l'operatore:
![{\displaystyle L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fb63294fe435fb6e2dd564c275fd443aaf8284)
L'azione di
su
è il prodotto di una nuova funzione
per il prodotto scalare
:
![{\displaystyle L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59cc223b8b52c1e4a323f3819d23ac60bc85d98)
In modo più generale si può considerare un operatore definito nel seguente modo:
![{\displaystyle L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6246909b211248122006f68997baa5fe9be34c08)
dove
sono scalari,
formano una base e
è la base dello spazio duale. La relazione tra le due basi è in parte descritta da:
![{\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd2cc762a22cf4f252d00e6fa8d994ab917503f)
Se si può utilizzare tale formalismo, i numeri
sono gli autovalori di
e le funzioni
sono le rispettive autofunzioni.[5]
L'operatore identità, ad esempio, può essere scritto come:
![{\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b199a2bb37253e1cc1159d4ac80aa980e13a060)
dove
e
sono ancora due basi coduali tali che
. Tale relazione è la risoluzione all'identità, anche detta rappresentazione dell'identità, e gode della proprietà:
![{\displaystyle I^{n}=I\qquad \forall n\in \mathbb {N} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9856a210efca22e462a21166dd391a324d0b9ba)
Applicando l'identità a
si ottiene l'espressione di
in termini delle funzioni di base
:
![{\displaystyle I|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}\ c_{i}|e_{i}\rangle \qquad I|\psi \rangle =|\psi \rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dcbcdca56d738dd606f176f959faccbe4135d08)
e tale relazione è generalizzata dall'espansione in serie di Fourier di
in funzione di
. A partire da ciò, la generica equazione:
![{\displaystyle O|\psi \rangle =|h\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de40122a4678dc96536248f9d49cdc3150083e2)
può essere scritta nelle basi
e
nel seguente modo:
![{\displaystyle O|\psi \rangle =O(I|\psi \rangle )=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46e67f3596b47eaf1a1b39f79172927578ec7ab)
Si possono inoltre determinare i coefficienti
:
![{\displaystyle \langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle \qquad \forall j}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43da4d634f2ad299d848b1c9a7d3d85cdd089691)
In definitiva, dato un operatore lineare
tale per cui:
![{\displaystyle L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edcf648e4dd9e683febada61f49e49890dfca812)
dove
sono i suoi autovalori, la risoluzione dell'identità consente di scrivere:
![{\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9a64e0b3b35c6920d737f5da82dc994ecbbf1b)
La teoria spettrale si occupa quindi di stabilire la natura e l'esistenza di una base di funzioni e della rispettiva base duale.
Il risolvente
può essere valutato a partire dagli autovalori e dalle autofunzioni di
. Applicando
ad una funzione arbitraria
si ha:
![{\displaystyle R_{\lambda }|\varphi \rangle =(\lambda -T)^{-1}\ |\varphi \rangle =\Sigma _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i},\varphi \rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c687eec07981a24078e47fbc5f244848231d29e)
Tale funzione ha poli nel piano complesso in corrispondenza degli autovalori di
. Utilizzando allora il metodo dei residui si ottiene:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda (\lambda -T)^{-1}\ |\varphi \rangle =-\Sigma _{i=1}^{n}\ |e_{i}\rangle \ \langle f_{i},\varphi \rangle =-|\varphi \rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c00609b66013264a1cc68ad898f54c1dbd32399f)
dove l'integrale è preso lungo un bordo
che include tutti gli autovalori. Supponendo che
sia definita sulle coordinate
, ovvero:[10][11]
![{\displaystyle \langle x,\ \varphi \rangle =\varphi (x_{1},\ x_{2},...\ )\qquad \langle x,\ y\rangle =\delta (x-y)=\delta (x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2},x_{3}-y_{3}\dots )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2024cb92c87c86524b2caaa3a1b95b05b9359188)
si ha:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x,\ {\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda (\lambda -T)^{-1}\varphi \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \ \langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ \varphi \rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \int \ dy\ \ \langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ y\rangle \ \langle y,\ \varphi \rangle \end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f261e0e4a750c36c6908496cbdf0e660bb1624c0)
La funzione
definita come:
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,\ y;\ \lambda )&=\langle x,\ (\lambda -T)^{-1}\ y\rangle \\&=\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{n}\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ (\lambda -T)^{-1}e_{j}\rangle \langle f_{j},\ y\rangle \\&=\Sigma _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\Sigma _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d23452a578db1f53803483c7bd5a901c2c94975)
è la funzione di Green per
e soddisfa:[12]
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\ \oint _{C}\ d\lambda \ G(x,\ y;\ \lambda )=-\Sigma _{i=1}^{n}\langle x,\ e_{i}\rangle \langle f_{i},\ y\rangle =-\langle x,\ y\rangle =-\delta (x-y)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ba5781164bcaf560ee89a42ebef77fea71d48f)
Si consideri l'equazione agli autovalori per l'operatore
:
![{\displaystyle (O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab883b9d2138ebb53f4bb09c008e2f8a53160d2)
che esplicitando le coordinate si scrive:
![{\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle dy=h(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4915783f96b13c6c6e21a44773d00f6f42e0a4)
La funzione di Green è:
![{\displaystyle \langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e8d88744aab517763e36142eb3b3bfd1f5fa33)
e soddisfa:
![{\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7a146abe1e99130803e5530c06fbe2d6d46c6d)
Utilizzando tale proprietà si ha:
![{\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )dy=\delta (x-z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42934cf366a8c31d8005c5cd334e379bd02f4d1a)
Moltiplicando entrambi i membri per
e integrando si ottiene:
![{\displaystyle \int dzh(z)\int dy\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dzh(z)G(y,z;\lambda )=h(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f03d971ea6282735cfa0d8cf51fc8a15c4dd70)
il che suggerisce che la soluzione sia:
![{\displaystyle \psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )dz}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c1d07a7120edfb24423ce660f6404a7ad45829)
Ovvero, si può trovare la funzione
che soddisfa l'equazione agli autovalori dell'operatore se si può calcolare lo spettro di
. Si può costruire la funzione
, per esempio, utilizzando la relazione:
![{\displaystyle G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d8ebdefb83a51706409d1f8a943cceb52edf5f1)
- (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
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