Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.
Significato geometrico del teorema di Cauchy.
Siano ![{\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e569de0fc730b7a75b46b6fd57598e0c94712f91)
due funzioni reali di variabile reale continue in ![{\displaystyle [a,b]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
e derivabili in 
.
Allora esiste almeno un punto 
tale che
![{\displaystyle [g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e4bd78cb4588ed6aa1ddaaa5b9c8bd4f51702a)
[1]
Si noti che se 
(e dunque in particolare 
), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente
Si consideri la funzione 
di variabile reale definita nell'intervallo come
![{\displaystyle h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)\quad }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9086fc6c781be3f83e1409f9d04a51da267f692f)
Questa funzione è continua nell'intervallo e derivabile in , e
![{\displaystyle h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ac00609f774385e419b77cd35049ead98ef990)
![{\displaystyle h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0272af647ee9f6dc756f589cf732e859112e92a5)
Da cui 
.
La funzione soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto in cui 
, cioè
![{\displaystyle [f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c14083f1623cc697c3e47ed174436ca871a4de3)
- Considerando in particolare la funzione
, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
- Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.
- Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.
- Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
![{\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e569de0fc730b7a75b46b6fd57598e0c94712f91)
![{\displaystyle [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [g(b)-g(a)]f^{\prime }(c)=[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e4bd78cb4588ed6aa1ddaaa5b9c8bd4f51702a)
![{\displaystyle h(t)=[f(b)-f(a)]g(t)-[g(b)-g(a)]f(t)\quad }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9086fc6c781be3f83e1409f9d04a51da267f692f)
![{\displaystyle h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)=f(b)g(a)-f(a)g(a)-f(a)g(b)+f(a)g(a)=f(b)g(a)-f(a)g(b).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ac00609f774385e419b77cd35049ead98ef990)
![{\displaystyle h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-f(b)g(b)+f(b)g(a)=-f(a)g(b)+f(b)g(a).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0272af647ee9f6dc756f589cf732e859112e92a5)
![{\displaystyle [f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)=0.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c14083f1623cc697c3e47ed174436ca871a4de3)
