Spazio di Sobolev
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In matematica, uno spazio di Sobolev è uno spazio vettoriale di funzioni munito di una norma che è combinazione delle norme Lp della funzione stessa e delle sue derivate deboli fino ad un certo ordine. Rispetto a tale norma lo spazio è completo,[1] e quindi di Banach.
Nello specifico, uno spazio di Sobolev è uno spazio di funzioni definite su un sottoinsieme tali per cui sono integrabili la -esima potenza del valore assoluto di e delle sue derivate deboli fino all'ordine . La norma di una funzione viene definita come:
con:
e l'usuale norma:
Gli spazi di Sobolev devono il proprio nome al matematico russo Sergei Lvovich Sobolev, e sono particolarmente utilizzati quando si trattano le distribuzioni. La loro importanza è dovuta al fatto che le soluzioni delle equazioni alle derivate parziali vengono normalmente cercate in spazi di Sobolev, piuttosto che negli spazi di funzioni continue dotate di derivate intese in senso classico, secondo un approccio detto formulazione debole del problema differenziale dato.