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un insieme di equazioni Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che ammettono le stesse soluzioni.
Ad esempio:
è un sistema con due equazioni e due incognite che descrive l'intersezione di una circonferenza e una retta nel piano cartesiano.
La scrittura generica di un sistema di equazioni in incognite è la seguente:
dove esprimono le funzioni delle incognite.
L'insieme ambiente è l'insieme dei valori che possono assumere le variabili, ed è specificato a priori. Generalmente, si assume che le variabili siano reali, e che le funzioni abbiano senso per ogni valore dell'insieme ambiente. Spesso l'insieme ambiente viene determinato a posteriori valutando per quali valori reali il sistema ha senso (valutando quindi il suo insieme di definizione). Ad esempio, il sistema
ha senso per ogni coppia di numeri reali con .
Formalmente, l'insieme ambiente è quindi un sottoinsieme dello spazio euclideo , dove è il numero di incognite.
In generale, i sistemi possono essere studiati anche con variabili non reali: possono essere ad esempio complesse, o più generalmente appartenere a qualche anello o campo.
Risolvere un sistema significa determinare l'insieme dei valori che, sostituiti alle variabili, verificano tutte le equazioni. L'insieme è un sottoinsieme dell'insieme ambiente, e prende il nome di insieme delle soluzioni; ciascuno dei suoi elementi è una soluzione del sistema.
Se è l'insieme delle soluzioni della -esima equazione, abbiamo
I metodi di risoluzione più elementari si basano su operazioni che trasformano il sistema in un altro equivalente, ma più semplice. Negli esempi successivi si prendono in considerazione solo sistemi lineari per la loro facilità di risoluzione, ma questi metodi possono essere usati anche in altri casi.
Si esplicita un'incognita esprimendola in funzione delle altre (per esempio diventa ) in una delle equazioni del sistema e si sostituisce l'espressione così ottenuta nelle altre equazioni in luogo dell'incognita corrispondente. In questo modo l'incognita sparisce da tutte le equazioni eccetto la prima. Si applica iterativamente il metodo fino a giungere a un'equazione con una sola incognita; si calcola il valore di quest'ultima e si risale fino alla prima esplicitando via via i valori delle incognite calcolate.
Si esplicita, in due delle equazioni, una delle variabili (o in generale, una stessa quantità), ottenendo così di poter eguagliare i secondi membri (che risulteranno indipendenti dalla variabile esplicitata) per la proprietà transitiva dell'uguaglianza. L'equazione così composta potrà essere riscritta al posto di una delle due precedenti, ottenendo un sistema equivalente.
Dato un sistema lineare nella forma
dove è il vettore colonna delle incognite, è il vettore colonna dei termini noti e è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:
dove è l'inversa di . Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.
Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione
dove e sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.
Lo studio dei sistemi non polinomiali è spesso molto difficile, e nella maggior parte dei casi non esistono formule o algoritmi che permettano di descrivere precisamente l'insieme delle soluzioni. Anche i sistemi polinomiali di grado basso sono spesso non risolvibili.
Spesso si ovvia a questo problema "linearizzando il sistema", studiando cioè le soluzioni di un sistema lineare che approssimi il sistema dato. In questo modo è spesso possibile ottenere una descrizione qualitativa o approssimativa delle soluzioni.
Si vuole utilizzare il metodo risolutivo per sostituzione. Esplicitiamo nella prima equazione e sostituiamolo dove compare nelle altre:
Ora calcoliamo nella seconda in funzione di :
In questo modo la terza equazione adesso contiene solo : risolvendola viene
Quindi ora calcolando la nella seconda viene la soluzione
Si vuole utilizzare il metodo risolutivo per confronto. Isoliamo la variabile z nella prima e seconda equazione:
Confrontiamo le due espressioni risultanti:
Da cui risulta:
E risolvendo per sostituzione tra le prime due equazioni:
Dunque:
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