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Trasformazione geometrica Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
La similitudine è una trasformazione geometrica, del piano o dello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. In altre parole, una trasformazione del piano (o dello spazio) in sé è una similitudine se e solo se esiste un numero reale positivo tale che:
per ogni coppia di punti
Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia e una isometria, o viceversa.
Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".
Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati sono simili.
Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.
Quando due oggetti e sono simili, si scrive generalmente
In geometria affine, una similitudine del piano cartesiano è una particolare affinità
In questa notazione indica un generico punto del piano , mentre è una matrice 2x2
e è un vettore colonna fissato . Nella notazione si fa uso della moltiplicazione fra matrici.
Una affinità descritta in questo modo è una similitudine se e solo se:
Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti siano non tutti nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:
Nel primo caso, il determinante di è positivo, la similitudine preserva l'orientazione e si dice diretta. Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice inversa.
Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:
sono simili.
sono simili.
Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:
Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.
In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere
Se il poligono non è un triangolo, non è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.
Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo
oppure
dove e sono due numeri complessi, e è il complesso coniugato di
Un frattale è un oggetto geometrico autosimilare: ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande.
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