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somma di una progressione geometrica (infinita) Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.
La serie geometrica è una serie del tipo . In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali , in cui:
La somma parziale -esima di una serie geometrica è dunque la somma per che va da zero ad di . Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a ed è detto ragione della serie.
Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule illustrate successivamente. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.
Possiamo dimostrare che in diversi modi.
Consideriamo: Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per . Vediamo che i termini del polinomio da a si semplificano con i corrispondenti della sommatoria:
Dividendo ambo i membri per il termine si ottiene rapidamente la somma per la serie geometrica:
Un altro modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da ad n consiste nel partire da:
È possibile dimostrare che anche per induzione. Osserviamo che per si ottiene pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per , ovvero che la somma dei primi termini valga proprio , allora la somma dei primi termini vale
Pertanto la formula, supposta vera per i primi termini, è vera anche per i primi termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che:
Osserviamo che tale formula è valida per , se la somma vale banalmente .
Se la serie non parte da , ma da un altro termine , allora
Derivando la somma rispetto a si possono trovare formule per somme del tipo
Ad esempio:
La serie ha il seguente carattere:
Se infatti la somma della serie esiste e vale
Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di sia minore di , e anche nel campo dei numeri p-adici se . In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.
Si ha che ;
allora
Pertanto vale
A questo punto, se e solo se , ha senso scrivere: , c.v.d.
Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:
Questa formula naturalmente è valida solo per .
Per effettuare la stima della somma geometrica finita conoscendo quella infinita, spezziamo la serie come segue
ricordando che la serie geometrica ha somma pari a otteniamo che
Se si pone che si ha che:
La funzione viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore (dove con si indica la derivata) si ha che
riconducendosi alla serie geometrica troncata. Quindi si ha
Si vuole calcolare la seguente sommatoria:
Consideriamo la funzione
e osserviamo che la sua derivata è data da
questo significa che
e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di in . Poiché per ogni otteniamo
e di conseguenza
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