Prodotto infinito
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In matematica si dice prodotto infinito relativo ad una successione di numeri reali o complessi a1, a2, a3, ... l'entità che si denota con
e che si definisce come il limite dei prodotti parziali a1a2...an per n tendente all'infinito. Il prodotto si dice convergente quando esiste un intero m tale che la successione
abbia un limite diverso da 0 e da ±∞. In caso contrario si dice che il prodotto è divergente. In questo modo un prodotto infinito convergente è nullo se e solo se si ha an=0 per un qualche n. Con tale definizione molte delle proprietà delle somme di serie infinite si possono trasformare in analoghe proprietà per i prodotti infiniti.
Se il prodotto infinito converge, allora il limite della successione an per n tendente all'infinito deve essere 1, mentre il fatto che la successione tenda a 1 non implica necessariamente che il prodotto infinito converga. Di conseguenza, per un prodotto infinito convergente, esiste m tale che per n≥m si abbia an>0. Dunque, per tali valori di n è definito il logaritmo log an e si ha
con il prodotto a primo membro che converge se e solo se la somma al secondo membro converge. Questa situazione simmetrica consente di tradurre i criteri di convergenza per le somme infinite in criteri di convergenza per i prodotti infiniti.
Per prodotti nei quali per ogni n si ha , introducendo i numeri , per i quali deve essere , si trovano le disuguaglianze
e queste mostrano che il prodotto infinito converge se e solo se converge la serie dei pn.