Partizione dell'unità
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In topologia, una partizione dell'unità relativa ad uno spazio topologico è una famiglia di funzioni continue
che soddisfino le seguenti proprietà:
per ogni
- in ogni punto, solo un numero finito di funzioni ha valore non nullo
- la somma di tutte queste funzioni è identicamente uno:
Questa somma è finita in ogni punto (e quindi la definizione è indipendente dal concetto di somma infinita) per la condizione precedente.
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L'esistenza di una partizione dell'unità è spesso data in relazione ad un particolare ricoprimento: si dice che la partizione è subordinata al ricoprimento di
se il supporto di
è contenuto in
per ogni indice
.
Nel contesto della geometria differenziale si aggiunge la richiesta della liscezza delle funzioni : in questo caso per distinguere si parla di partizione differenziabile dell'unità.
La paracompattezza dello spazio è una condizione necessaria all'esistenza di una partizione dell'unità. A seconda del contesto, può anche essere sufficiente.