Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:
con l'unica condizione . Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per . Scrivendo in forma esponenziale
segue che
dove e rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita . Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano e :
Si può quindi scrivere
Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che contiene tutti i numeri del tipo , con Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.