In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo:
dove i coefficienti
sono tutti numeri interi.
Come i numeri interi sono un sottoanello del campo formato dai numeri razionali, gli interi algebrici formano un sottoanello del campo dei numeri algebrici. La chiusura algebrica dei numeri razionali è formata dai numeri algebrici, i quali formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita sui razionali. L'insieme dei numeri algebrici
e l'insieme dei numeri trascendenti
formano il campo complesso, cioè
![{\displaystyle \mathbb {C} ={\mathcal {A}}\cup {\mathcal {T}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a80a84ff41614de9284cd5867f5c569e19a9e64)
Quindi un intero algebrico è un tipo particolare di numero algebrico. L'insieme degli interi algebrici è della forma
![{\displaystyle {\mathcal {I}}=\left\{\alpha \in \mathbb {C} |\quad \exists f(x)\in \mathbb {Z} [x],\quad f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\quad f(\alpha )=0,\quad a_{i}\in \mathbb {Z} ,\,\,n\in \mathbb {N} \right\}\subseteq {\mathcal {A}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081327caf09603e98f708930984bb0bb027533ec)
dove
indica l'anello dei polinomi formato dall'insieme di polinomi in una o più indeterminate con coefficienti in ![{\displaystyle \mathbb {Z} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f4f38f32c2068bca9dc701d13b03dd4a5d52ab)
L'insieme
è un sottoanello del campo complesso.[1]
- I numeri interi sono interi algebrici, perché radici del polinomio
.
- I numeri razionali non interi non sono interi algebrici: non sono infatti radici di un polinomio monico a coefficienti interi.
- Se
è una radice dell'unità, gli interi algebrici contenuti nel campo ciclotomico
sono precisamente gli elementi in
, ovvero tutti i numeri che possono essere scritti come combinazione lineare di potenze di
a coefficienti interi:
![{\displaystyle a_{k}q^{k}+\ldots +a_{1}q+a_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3445ddc70de545b54fe8e4bfdc09fb628b9ee915)
(EN) C. Carstensen-Opitz, B. Fine, A. Moldenhauer, G. Rosenberger, 20. Integral and transcendental extensions, in Abstract Algebra, Berlino, De Gruyter, 2019, DOI:10.1515/9783110603996, ISBN 9783110603996.