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In matematica esistono varie nozioni di limitatezza di un insieme, dipendenti in gran parte dallo spazio in cui è immerso. Euristicamente si può dire che un insieme è limitato se ha "estensione finita" (ma non necessariamente nel senso di cardinalità finita). Un insieme che non è limitato è detto illimitato.
Sia uno spazio metrico.
Un sottoinsieme si dice limitato se esiste un numero reale positivo tale che . [1]
Uno spazio normato è in particolare uno spazio metrico, quindi la nozione di limitatezza in spazi normati sarà la stessa di quella negli spazi metrici. Sfruttando la norma si può trovare un'altra caratterizzazione: un insieme è limitato in uno spazio normato se e solo se esiste , ossia se ogni elemento di ha norma minore o uguale a una stessa costante.
Talvolta un insieme limitato secondo questa definizione si dirà limitato in norma, per distinguerlo dagli insiemi limitati in altre topologie che non inducono quella norma come le topologie deboli. Per la definizione di insieme limitato in topologia si veda il paragrafo successivo.
In uno spazio vettoriale topologico la nozione di limitatezza è un po' più complessa, in quanto non è possibile parlare di distanza o norma. In questo caso si deve ricorrere ai semplici intorni dell'origine. Sia uno spazio vettoriale topologico ed un insieme. Si dice che è limitato nella topologia se e solo se per ogni intorno dell'origine esiste un numero reale positivo (dipendente da ) tale che . In altre parole deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine.
Nel caso in cui la topologia sia indotta da una metrica , le due nozioni di limitatezza coincidono. Per verificarlo basta osservare che se è indotta dalla metrica allora la palla unitaria aperta è un elemento di (cioè è un aperto dello spazio vettoriale topologico ). Si mostrano ora le due implicazioni:
In un campo ordinato un insieme si dice insieme limitato superiormente se esiste almeno un maggiorante tale che per tutti gli si ha . Analogamente l'insieme si dice insieme limitato inferiormente se esiste almeno un minorante tale che per tutti gli si ha .
Il fatto che esista un maggiorante dell'insieme implica che ne possano esistere infiniti; tutti gli elementi tali che sono chiaramente essi stessi maggioranti dell'insieme . Il più piccolo dei maggioranti si chiama estremo superiore dell'insieme, se non appartiene all'insieme , oppure massimo dell'insieme se invece appartiene ad . In maniera analoga per gli insiemi limitati inferiormente, il più grande dei minoranti di è detto estremo inferiore se non appartiene all'insieme , oppure minimo se invece appartiene all'insieme stesso.
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