La funzione esponenzialeez può essere definita come il limite di (1 + z/N)N per N che tende a infinito. Pertanto, eiπ è il limite di (1 + iπ/N)N. In questa animazione, N assume valori crescenti da 1 a 100. Il calcolo di (1 + iπ/N)N è visualizzato come l'effetto dell'iterazione di N moltiplicazioni nel piano complesso, con l'ultimo puntino che rappresenta il valore effettivo di (1 + iπ/N)N. Si può osservare, all'aumentare di N, il tendere di (1 + iπ/N)N al limite −1.
L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:
dove:
e sono gli elementi neutri rispettivamente del prodotto e della somma,
L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:
Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.
L'equazione, contrariamente a quanto si legge usualmente, non compare nell'Introductio in analysis infinitorum, il primo trattato sul calcolo infinitesimale di Eulero, pubblicato a Losanna nel 1748. In realtà, non è noto chi per primo abbia scritto esplicitamente la relazione, sebbene la formula di Eulero, oggi pertinente all'analisi complessa, fosse assai nota nel Settecento: i matematici Roger Cotes e Abraham de Moivre l'avevano dimostrata in maniera indipendente e con procedimenti diversi.[1] Tale formula si può scrivere come segue:
per ogni numero reale, essendo cos la funzionecoseno e sin la funzione seno. L'identità di Eulero può essere ricavata come caso particolare di questa relazione: se infatti , allora
e poiché
e
segue che
Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità."[2]Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica".[3] Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:
Il numero , l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni , ). Vedi 1 (numero).
Il numero è fondamentale nella trigonometria; è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
Il numero è una costante fondamentale (detta anche numero di Nepero) connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale con condizione iniziale è ).
La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano , elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale ), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali (), irrazionali immaginari (), e interi ().
