Loading AI tools
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In geometria, la fibrazione di Hopf è una particolare mappa dalla sfera tridimensionale a quella bidimensionale, tale che la controimmagine di ogni punto è una circonferenza.
La fibrazione di Hopf è un particolare fibrato avente S2 come spazio base, S3 come spazio totale, e S1 come fibra:
Fu scoperto da Heinz Hopf nel 1931. Il fibrato di Hopf è un fibrato principale, se considerato con la naturale struttura di gruppo della fibra.
La fibrazione di Hopf è costruita nel modo seguente: per definizione S3 è un oggetto dentro R4, che identifichiamo con C2. Lo spazio proiettivo complesso CP1 è definito come il quoziente di C2 \{0} tramite la relazione di equivalenza che identifica due vettori di C2 quando stanno sulla stessa retta (complessa!) passante per l'origine. Come in tutti i quozienti, c'è una proiezione f: C2 → CP1, che manda ogni vettore nella sua classe di equivalenza. Restringendo la proiezione a S3 otteniamo una funzione suriettiva da S3 in CP1, che è omeomorfo a S2. Questa funzione è la fibrazione di Hopf.
La fibra su un punto di S2 (ovvero la sua controimmagine) è omeomorfa alla circonferenza S1, perché è fatta di tutti i punti del tipo (λz0, λz1) dove z0 e z1 sono numeri complessi fissati e λ è un numero complesso variabile con norma 1.
Hopf ha dimostrato che la fibrazione f : S3 → S2 non è omotopa ad una mappa costante. In verità, la mappa di Hopf genera il terzo gruppo di omotopia di S2, ovvero il gruppo π3(S2) isomorfo a Z.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.