Distribuzione di Cantor

In teoria della probabilità la distribuzione di Cantor è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione è la funzione di Cantor. Essa è una distribuzione singolare, o continua singolare: non è né assolutamente continua né discreta.

La funzione di Cantor

Se consideriamo la costruzione dell'insieme di Cantor, riassunta nell'immagine sotto:

${\displaystyle C_{0}=[0,1]}$

${\displaystyle C_{1}=[0,1/3]\bigcup [2/3,1]}$

${\displaystyle C_{2}=[0,1/9]\bigcup [2/9,1/3]\bigcup [2/3,7/9]\bigcup [8/9,1]}$

${\displaystyle C_{3}=[0,1/27]\bigcup [2/27,1/9]\bigcup [2/9,7/27]\bigcup [8/27,1/3]}$

${\displaystyle \bigcup [2/3,19/27]\bigcup [20/27,7/9]\bigcup [8/9,25/27]\bigcup [26/27,1]}$

${\displaystyle \vdots }$

abbiamo che una variabile casuale con la distribuzione di Cantor è l'unica tale che, per ogni ${\displaystyle n}$, essa è distribuita uniformemente sul singolo insieme ${\displaystyle C_{n}}$, cioè su ogni riga dell'immagine sotto la probabilità di un singolo intervallino è ${\displaystyle 1/2^{n}}$.

Momenti

• ${\displaystyle E(X)={1 \over 2}}$

La varianza si ottiene dalla legge della varianza totale: se consideriamo Y come l'indicatore dell'evento "esce testa in un lancio di moneta"

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))}$

${\displaystyle ={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}P(1/6)=1/2\\P(5/6)=1/2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.}$

Da cui otteniamo

• ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={1 \over 8}}$

Voci correlate

• Distribuzione singolare
• Funzione di Cantor
• Insieme di Cantor
• Variabile casuale
• Distribuzione continua
• Distribuzione discreta

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