Combinazione lineare

In matematica, una combinazione lineare è un'operazione principalmente usata nell'ambito dell'algebra lineare. Una combinazione lineare di alcuni elementi di uno spazio vettoriale è un'espressione del tipo:^[1]

${\displaystyle a_{1}v_{1}+\ldots +a_{n}v_{n}}$

dove i ${\displaystyle v_{i}}$ sono elementi dello spazio vettoriale e gli ${\displaystyle a_{i}}$ sono scalari. Il risultato di questa combinazione è un nuovo elemento dello spazio. Questa nozione molto generale si applica in vari contesti: si possono scrivere ad esempio combinazioni lineari di vettori nel piano o nello spazio, di matrici, di polinomi o di funzioni.

Definizioni

Combinazione lineare

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$. Siano ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ vettori di ${\displaystyle V}$. Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura:

${\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}}$

dove ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ sono scalari, cioè elementi di ${\displaystyle K}$. Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti arbitrariamente e sono detti coefficienti della combinazione lineare.

Combinazione affine e convessa

Lo stesso argomento in dettaglio: Combinazione convessa.

Se il campo ${\displaystyle K}$ è il campo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè:

${\displaystyle a_{i}\geq 0}$

per ogni ${\displaystyle i}$, la combinazione è chiamata positiva.

Quando i coefficienti hanno come somma 1:

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=1}$

la combinazione è detta affine. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta combinazione convessa. Entrambe queste nozioni sono utili in geometria affine, per definire le nozioni di coordinate affini e coordinate baricentriche.

Proprietà

Unicità della combinazione

In genere, cioè per una generica scelta dei vettori ${\displaystyle v_{i}}$, il vettore:

${\displaystyle v=a_{1}v_{1}+\ldots a_{n}v_{n}}$

non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: lo stesso ${\displaystyle v}$ può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$.

Se i vettori sono indipendenti, la combinazione lineare è però unica.

Sottospazio generato

Lo stesso argomento in dettaglio: Sottospazio generato.

I vettori ${\displaystyle v}$ che si ottengono come combinazioni lineari di ${\displaystyle n}$ vettori fissati, al variare degli scalari ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, formano un sottospazio vettoriale di ${\displaystyle V}$, chiamato sottospazio generato. Si indica generalmente con:

${\displaystyle \mathrm {Span} (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}}$

Generalizzazioni

Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare ${\displaystyle am+bn}$ di due numeri interi ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono coefficienti interi.

Note

1. MathWorld.

Bibliografia

• (EN) David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, 3rd, Addison–Wesley, 2006, ISBN 0-321-28713-4.
• (EN) Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th, Brooks Cole, 2006, ISBN 0-03-010567-6.
• (EN) Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 2nd, Springer, 2002, ISBN 0-387-98258-2.

Voci correlate

• Sottospazio generato
• Dipendenza lineare
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Estrazione di una base
• Combinazione lineare di orbitali atomici
• Combinazione convessa
• Insieme di generatori

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Linear Combination, su MathWorld, Wolfram Research.

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