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campo che contiene un numero finito di elementi Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica, in particolare in algebra, un campo finito (detto a volte anche campo di Galois) è un campo che contiene un numero finito di elementi. I campi finiti sono importanti in teoria dei numeri, geometria algebrica, teoria di Galois, in crittografia e in teoria dei codici.
I campi finiti sono completamente classificati.
I campi finiti sono classificati nel modo seguente:
Quindi, a meno di isomorfismi, esiste un solo campo con elementi; questo viene solitamente indicato con o con , da campo di Galois (Galois Field).[1]
Ad esempio, esiste un campo finito con elementi, mentre non ne esiste nessuno con elementi, perché non è la potenza di un numero primo.
Il campo finito presenta una struttura differente a seconda che sia , e quindi il campo abbia precisamente elementi, o che sia maggiore di .[1]
Quando il campo finito ha esattamente elementi () le sue operazioni vengono definite tramite l'aritmetica modulare modulo .[2]
Quindi è il campo delle classi di resto modulo , ed è anche indicato con .
Il gruppo soggiacente in questo caso è un gruppo ciclico di ordine .
Quando , invece, l'aritmetica modulare modulo non produce un campo poiché non è isomorfo all'anello delle classi di resto : quest'ultimo infatti è solo un anello, e non un campo.
Il gruppo additivo soggiacente infatti non è ciclico, bensì isomorfo a
Le operazioni del campo sono quindi definite tramite aritmetica polinomiale[2] e ogni elemento del campo viene visto come un polinomio i cui coefficienti appartengono a e il cui grado massimo è pari a . Le operazioni sono svolte seguendo due accorgimenti: l'aritmetica sui coefficienti è un'aritmetica modulare modulo e al termine di ogni operazione il polinomio risultante viene diviso per un polinomio irriducibile di grado e ne viene preso il resto (assicurando così che questo abbia ancora grado al più ).[3]
Il campo , con , è costruito come il campo di spezzamento del polinomio
definito sul campo .
Infatti il campo di spezzamento è generato da alcuni elementi che spezzano il polinomio in
Le radici sono distinte perché il polinomio non ha radici multiple, in virtù del fatto che la sua derivata formale
non è mai nulla. Infine, le radici formano esse stesse un campo, della cardinalità desiderata, che quindi coincide con il campo di spezzamento.
La dimostrazione procede nel modo seguente. Sia un campo finito.
Il campo , essendo un anello, possiede una caratteristica che vale .
Se è un campo con elementi, allora
per ogni in . Inoltre la mappa
è un isomorfismo (e quindi un automorfismo), chiamato automorfismo di Frobenius, in nome del matematico Ferdinand Georg Frobenius. L'automorfismo ha ordine .
Il campo contiene una copia di se e solo se divide .
Descriviamo le operazioni di somma e prodotto nei campi finiti di ordine , e .
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Il numero di polinomi monici irriducibili di grado su è dato da[4]
dove è la funzione di Möbius.
Dalla precedente formula segue che il numero di polinomi irriducibili (non necessariamente monici) di grado su è .
Per le loro proprietà i campi finiti svolgono un importante ruolo in diversi algoritmi crittografici tra cui l'AES e la crittografia ellittica.[2]
Particolarmente utilizzati sono i campi della forma poiché presentano diversi vantaggi:
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