Loading AI tools
Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Dalam aljabar elementer, merasionalkan akar adalah proses menghilangkan Akar bilangan pada bagian penyebut dari suatu pecahan.
Jika bagian penyebutnya merupakan monomial dalam bentuk akar, seperti (dengan ), maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan . Jika , maka menurut pembagian bersisa, dapat ditulis sebagai sehingga diperoleh yang kemudian dapat dilanjutkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan , serupa seperti sebelumnya.
Jika bagian penyebutnya linear dalam akar kuadrat, katakanlah , maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan akar sekawan[butuh rujukan] , dan menjabarkan hasil perkalian pada bagian penyebut.
Teknik ini dapat diperluas menjadi sembarang penyebut aljabar, dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan semua konjugat aljabar dari bagian penyebut, dan menjabarkan penyebut yang baru dengan norma dari penyebut yang lama. Akan tetapi, terkecuali pada kasus khusus, hasil pecahannya mungkin memiliki bagian pembilang dan penyebut yang cukup besar, sehingga teknik ini umumnya digunakan hanya untuk kasus-kasus dasar seperti di atas.
Cara dasar untuk merasionalkan akar adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor yang sama.
Untuk merasionalkan ekspresi , maka dengan mengalikan pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat akar kuadrat, sebab , berdasarkan definisi akar kuadrat: yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.
Untuk merasionalkan ekspresi , maka dengan mengalikan pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat akar kubik, sebab akar kubiknya telah dipangkatkan tiga. Akibatnya, yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.
Jika bagian penyebutnya adalah maka proses merasionalkan akarnya dapat dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan akar sekawan[butuh rujukan] : dan diikuti oleh identitas selisih dua bilangan kuadrat (yang dalam kasus ini, menghasilkan bilangan ). Cara ini berlaku secara umum, yaitu ekspresi akar dalam bentuk pada bagian penyebut dapat dihilangkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan .
Untuk merasionalkan ekspresi , maka dengan mengalikan pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh Dari sini, akar kuadrat pada bagian penyebut berhasil dihilangkan, yang menghasilkan ekspresi
Proses ini juga berlaku untuk bilangan kompleks. Misalnya, pecahan dapat dirasionalkan menjadi
Proses rasionalisasi dapat diperluas untuk semua bilangan aljabar dan fungsi aljabar (sebagai bentuk penerapan dari bentuk norma). Sebagai contoh, untuk merasionalkan akar pangkat tiga, diperlukan dua faktor linear yang melibatkan akar satuan ketiga, atau secara ekuivalen, sebuah faktor kuadrat.
Materi ini terdapat pada buku-buku aljabar klasik. Misalnya:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.