Notasi Leibniz

Dalam kalkulus, notasi Leibniz, dinamakan untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17 Gottfried Leibniz, menggunakan simbol dx dan dy untuk melambangkan pertambahan "kecil takhingga" (atau infinitesimal) dari x dan y, sebagaimana Δx dan Δy melambangkan pertambahan hingga dari x dan y. Untuk y sebagai fungsi dari x

${\displaystyle y=f(x)\,,}$

dy

dx

d ²y

dx²

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), filsuf Jerman, matematikawan, dan nama notasi matematika yang paling luas digunakan dalam kalkulus.

turunan y terhadap x, yang kemudian dipandang sebagai

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

adalah, menurut Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari y oleh pertambahan kecil takhingga x, atau

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

dengan ruas kanan adalah notasi Lagrange untuk turunan f di x.

Meskipun sekarang matematikawan memandang integral

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

sebagai limit

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

dengan Δx adalah selang yang mengandung x_i, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga f(x) dx.

Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f''(x)}$

dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan ${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}}$.^[1]

Notasi Leibniz untuk diferensiasi

Artikel utama: Notasi untuk diferensiasi

Misalkan nilai a dari variabel dependen pada nilai y yang mendukung fungsi f dari nilai variabel independen pada x, yaitu

${\displaystyle y=f(x).}$

Setelah itu hasil turunan dari fungsi f, dalam Notasi Leibniz untuk diferensiasi, dapat ditulis sebagai

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ atau }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ atau }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

Ekspresi Leibniz, terkadang tertulis dy/dx salah satu dari beberapa notasi yang digunakan dalam turunan dan fungsi turunan. Alternatif yang umum adalah Notasi Lagrange

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

Alternatif lain adalah Notasi Newton, yang sering digunakan untuk turunan terhadap waktu (seperti kecepatan), yang memerlukan penempatan titik di atas x):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

Notasi "prima" Lagrange sangat berguna dalam diskusi fungsi turunan atau memiliki keuntungan karena memiliki cara alami untuk menunjukkan nilai fungsi turunan

Dalam interpretasi modern, ekspresi pada dydx seharusnya tidak terbaca sebagai pembagian dua besaran dx dan dy (seperti yang dibayangkan Leibniz) sebaliknya, keseluruhan ekspresi harus dilihat sebagai simbol tunggal yang merupakan singkatan

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

(Catatan Δ vs. d, darimana nilai Δ menunjukkan perbedaan yang terbatas).

Ekspresi tersebut dapat dianggap juga sebagai penerapan operator diferensial ddx ke y, dianggap sebagai fungsi dari nilai x. Operator tersebut tertulis D dalam Notasi Euler. Leibniz tidak menggunakan bentuk ini, tetapi menggunakan simbolnya yaitu d berhubungan erat dengan konsep modern ini.

Meskipun tidak ada pembagian yang tersirat oleh notasi leibniz, notasi seperti pembagian yang lebih berguna karena dalam banyak situasi, operator turunan berperilaku seperti pembagian, membuat beberapa hasil tentang derivatif.^[2] Notasi ini berutang umur panjang pada kenyataan bahwa ia tampaknya mencapai inti dari aplikasi geometri dan mekanis kalkulus..^[3]

Notasi Leibniz untuk turunan yang lebih tinggi

Jika nilai y = f(x), the n turunan dari nilai f dalam notasi Leibniz dirumuskan,^[4]

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Notasi tersebut digunakan untuk turunan kedua yang diperoleh dengan menggunakan rumus ddx sebagai operator dengan cara berikut,^[4]

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Turunan ketiga, yang dapat ditulis sebagai

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,}$

Anda bisa mendapatkannya dari

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).}$

Demikian pula, turunan yang lebih tinggi dapat diperoleh secara induktif.

Mungkin, dengan definisi yang dipilih dengan cermat, untuk menafsirkannya pada nilai dydx sebagai hasil bagi dari diferensial tersebut tidak boleh dilakukan dengan bentuk orde yang lebih tinggi.^[5]

Notasi Leibniz tidak bisa digunakan oleh leibniz. Dalam cetakan leibniz tidak menggunakan notasi multi-tier atau eksponen numerik (sebelum 1695). Untuk menulis nilai x³ misalkan, dia akan menulis nilai xxx, seperti biasa pada umumnya. Kuadrat dari suatu diferensial, seperti yang muncul dalam rumus pada panjang busur misalkan, dapat ditulis sebagai dxdx. Namun, Leibniz memang menggunakan miliknya sendiri yaitu nilai d notasi seperti yang kita gunakan saat ini operator tersebut akan menulis turunan kedua sebagai nilai ddy dan turunan ketiga tersebut sebagai dddy. Pada tahun 1695 Leibniz mulai menulis rumus yaitu d²⋅x dan d³⋅x dari nilai ddx dan dddx. Akan tetapi dalam metode l'Hôpital, dalam buku teksnya tersebut tentang kalkulus yang ditulis sekitar waktu yang sama dalam menggunakan bentuk asli Leibniz.^[6]

Gunakan dalam berbagai rumus

Salah satu alasan mengapa notasi Leibniz dalam kalkulus bertahan begitu lama, mengapa? karena notasi tersebut memungkinkan untuk mengingat dengan mudah rumus yang tepat yang digunakan untuk diferensiasi dan integrasi. Dalam aturan rantai misalkan fungsi pada g dibedakan pada nilai x dan y = f(u) dibedakan menjadi u = g(x). Kemudian fungsi komposit y = f(g(x)) dibedakan menjadi x dan turunannya dapat dinyatakan dalam notasi Leibniz sebagai,^[7]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Hal ini dapat digeneralisasikan untuk menangani gabungan dari beberapa fungsi yang ditentukan yang terkait dengan tepat, u₁, u₂, ..., u_n dan akan diekspresikan sebagai:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

Juga, rumus integral dengan substitusi dapat didekripsikan oleh^[8]

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

Darimana nilai x adalah fungsi dari suatu variabel yang baru u dan pada fungsi y di sebelah bagian kiri dapat didekripsikan dalam bentuk nilai x sedangkan di sebelah kanan dinyatakan dalam nilai u.

Jika rumus y = f(x) darimana nilai f adalah fungsi yang dapat dibedakan dengan dibalik dari turunan pada fungsi invers, jika dapat diberikan oleh:^[9]

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

Darimana tanda kurung yang ditambahkan untuk menekankan fakta bahwa turunannya bukan pecahan.

Salah satu jenis persamaan diferensial paling sederhana adalah:^[10]

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

Darimana nilai M Dan nilai N adalah fungsi berkelanjutan. Menyelesaikan (secara implisit) persamaan tersebut dapat dilakukan dengan memeriksa persamaan dalam bentuk diferensial:

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

dan mengintegrasikan untuk mendapatkan nilai:

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

Pembenaran modern dari infinitesimals

- Dalam pengembangan -

Lihat pula

• Notasi Newton

Referensi

1. Perhatikan bahwa ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ adalah notasi ringkas untuk ${\displaystyle {\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}}$, atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x², atau diferensial kedua dari x.
2. Jordan, D. W.; Smith, P. (2002). Teknik Matematika: Pengantar Ilmu Teknik, Fisika, dan Matematika. Oxford University Press. hlm. 58.
3. Cajori 1993, Vol. II, p. 262
4. Briggs & Cochran 2010, p. 141
5. Swokowski 1983, p. 135
6. Cajori 1993, pp. 204-205
7. Briggs & Cochran 2010, p. 176
8. Swokowski 1983, p. 257
9. Swokowski 1983, p. 369
10. Swokowski 1983, p. 895

Catatan

• Perhatikan bahwa ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ adalah notasi ringkas untuk ${\displaystyle {\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}}$, atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x², atau diferensial kedua dari x.