Metode koefisien tak tentu

Dalam matematika, metode koefisien tak tentu adalah suatu pendekatan untuk mencari solusi khusus dari suatu persamaan diferensial biasa nonhomogen dan relasi perulangan nonhomogen.

Persamaan diferensial
Persamaan diferensial Navier–Stokes digunakan untuk mensimulasikan aliran udara di sekitar suatu rintangan
Ruang lingkup
Bidang Ilmu alam Perekayasaan Astronomi Fisika Kimia Biologi Geologi Matematika terapan Mekanika kontinuum Teori kekacauan Sistem dinamis Ilmu sosial Ekonomi Dinamika populasi Daftar persamaan diferensial bernama
Klasifikasi
Jenis Biasa Linear Non-linear Parsial Pecahan Diferensial-aljabar Integro-diferensial Berdasarkan jenis variabel Variabel bebas dan terikat Autonom Coupled / Decoupled Eksak Homogen / Non-homogen Sifat-sifat Orde Operator Notasi
Hubungan dengan proses Persamaan beda (versi diskret) Stokastik Stokastik parsial Tunda
Solusi
Kewujudan dan ketunggalan Teorema Picard–Lindelöf Teorema kewujudan Peano Teorema kewujudan Carathéodory Teorema Cauchy–Kowalevski
Topik umum Kondisi awal Nilai batas Dirichlet Neumann Robin Masalah Cauchy Wronskian Potret fase Lyapunov / Asimtotik / Eksponensial Laju konvergensi Deret pangkat Pengintegralan numeris Fungsi delta Dirac
Metode menemukan solusi Inspeksi Metode karakteristik Euler Rumus respons eksponen Beda hingga (Crank–Nicolson) Elemen hingga Elemen takhingga Volume hingga Galerkin Petrov–Galerkin Fungsi Green Faktor integrasi Transformasi integral Teori perturbasi Runge–Kutta Pemisahan variabel Koefisien tak tentu Variasi parameter
Tokoh
Daftar Isaac Newton Gottfried Leibniz Jacob Bernoulli Leonhard Euler Józef Maria Hoene-Wroński Joseph Fourier Augustin-Louis Cauchy George Green Carl David Tolmé Runge Martin Kutta Rudolf Lipschitz Ernst Lindelöf Émile Picard Phyllis Nicolson John Crank
l b s

Metode koefisien tak tentu tidak seumum metode variasi parameter, sebab metode ini hanya berlaku untuk persamaan diferensial yang memiliki bentuk tertentu. Untuk persamaan yang kompleks, pencarian solusi menggunakan metode variasi parameter akan memakan waktu yang lebih sedikit.^[1]

Deskripsi Metode

Perhatikan persamaan diferensial biasa linear nonhomogen dengan bentuk umum sebagai berikut $${\displaystyle c_{n}\,y^{(n)}+c_{n-1}\,y^{(n-1)}+\,\ldots \,+c_{2}\,y''+c_{1}\,y'+c_{0}\,y=F(x)}$$ dimana

• ${\displaystyle y^{(i)}}$ menyatakan turunan ke-${\displaystyle i}$ dari ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle c_{i}}$ adalah suatu konstanta
• ${\displaystyle c_{n}\neq 0}$

Metode koefisien tak tentu menyediakan cara untuk memperoleh solusi dari PDB ini apabila fungsi ${\displaystyle F(x)}$ merupakan:^[2]

1. fungsi polinomial
2. fungsi eksponensial (dengan bentuk umum ${\displaystyle e^{mx}}$)
3. fungsi sinus dan kosinus (dengan bentuk umum ${\displaystyle \sin(\omega x)}$ atau ${\displaystyle \cos(\omega x)}$)
4. hasil perkalian dan penjumlahan berhingga dari (1), (2), dan (3) (misalnya ${\displaystyle e^{x}+x^{3}\,\cos(2x)}$)

untuk suatu konstanta ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle \omega }$

Misalkan ${\displaystyle y=g(x)}$ adalah solusi persamaan diferensial linear yang ruas kanannya adalah ${\displaystyle G(x)}$, dan misalkan ${\displaystyle y=h(x)}$ adalah solusi persamaan diferensial linear yang ruas kanannya adalah ${\displaystyle H(x)}$. Secara matematis, maka

• $${\displaystyle c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}g}{{\text{d}}x^{n}}}+c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}g}{{\text{d}}x^{n-1}}}+\,\ldots \,+c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}g}{{\text{d}}x^{2}}}+c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}g}{{\text{d}}x}}+c_{0}\,g=G(x)}$$
• $${\displaystyle c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}h}{{\text{d}}x^{n}}}+c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}h}{{\text{d}}x^{n-1}}}+\,\ldots \,+c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}h}{{\text{d}}x^{2}}}+c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}h}{{\text{d}}x}}+c_{0}\,h=H(x)}$$

Oleh karena operator diferensial bersifat linier, maka dengan menggunakan asas superposisi, didapatkan^[3]

$${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccclr}c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}g}{{\text{d}}x^{n}}}&+&c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}g}{{\text{d}}x^{n-1}}}&+&\ldots &+&c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}g}{{\text{d}}x^{2}}}&+&c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}g}{{\text{d}}x}}&+&c_{0}\,g&=&G(x)&\\c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}h}{{\text{d}}x^{n}}}&+&c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}h}{{\text{d}}x^{n-1}}}&+&\ldots &+&c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}h}{{\text{d}}x^{2}}}&+&c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}h}{{\text{d}}x}}&+&c_{0}\,h&=&H(x)&+\\\hline c_{n}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n}(g+h)}{{\text{d}}x^{n}}}&+&c_{n-1}\,{\dfrac {{\text{d}}^{n-1}(g+h)}{{\text{d}}x^{n-1}}}&+&\ldots &+&c_{2}\,{\dfrac {{\text{d}}^{2}(g+h)}{{\text{d}}x^{2}}}&+&c_{1}\,{\dfrac {{\text{d}}(g+h)}{{\text{d}}x}}&+&c_{0}\,(g+h)&=&G(x)+H(x)&\\\end{array}}}$$

Dengan kata lain, jika fungsi ${\displaystyle F(x)}$ di ruas kanan dapat dinyatakan sebagai ${\displaystyle G(x)+H(x)}$, maka solusi akhirnya adalah jumlahan dari masing-masing solusi, yaitu ${\displaystyle y=g(x)+h(x)}$. Jika ${\displaystyle G(x)=0}$ (yang mengakibatkan ${\displaystyle H(x)=F(x)}$), maka fungsi ${\displaystyle g(x)}$ disebut sebagai solusi umum, dan ${\displaystyle h(x)}$ disebut sebagai solusi khusus.^{[butuh rujukan]}

Metode ini secara umum terdiri dari dua bagian, yaitu:

1. Pencarian solusi umum, yaitu suatu fungsi ${\displaystyle y_{u}}$ sedemikian sehingga fungsi tersebut memenuhi $${\displaystyle c_{n}\,y^{(n)}+c_{n-1}\,y^{(n-1)}+\,\ldots \,+c_{2}\,y''+c_{1}\,y'+c_{0}\,y=0}$$ Dengan kata lain, persamaan diferensialnya dipandang sebagai persamaan diferensial homogen terlebih dahulu.
2. Pencarian solusi khusus, yaitu suatu fungsi ${\displaystyle y_{k}}$ sedemikian sehingga fungsi tersebut memenuhi $${\displaystyle c_{n}\,y^{(n)}+c_{n-1}\,y^{(n-1)}+\,\ldots \,+c_{2}\,y''+c_{1}\,y'+c_{0}\,y=g(x)}$$

Setelah diperoleh ${\displaystyle y_{u}}$ dan ${\displaystyle y_{k}}$, maka solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

${\displaystyle y=y_{u}+y_{k}}$^[3]

Bentuk umum beserta solusinya

Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensialnya, maka terlebih dahulu harus 'ditebak' bentuk umumnya, yang nantinya beberapa koefisien yang ada akan menjadi variabel, yang kemudian akan dicari nilainya. Berikut adalah beberapa jenis fungsi beserta bentuk umum solusinya.

Bentuk umum ${\displaystyle F(x)}$	Bentuk umum dari ${\displaystyle y}$
${\displaystyle ke^{mx}}$	${\displaystyle ce^{mx}}$
${\displaystyle kx^{n}\qquad n=0,\,1,\,2,\,\ldots }$	${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n}}$
${\displaystyle k\cos(\omega x)}$	${\displaystyle \lambda _{1}\cos(\omega x)+\lambda _{2}\sin(\omega x)}$
${\displaystyle k\sin(\omega x)}$
${\displaystyle ke^{mx}\cos(\omega x)}$	${\displaystyle \lambda _{1}e^{mx}\cos(\omega x)+\lambda _{2}e^{mx}\sin(\omega x)}$
${\displaystyle ke^{mx}\sin(\omega x)}$
${\displaystyle (k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})\,\sin(\omega x)}$	${\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n})\,\cos(\omega x)}$ ${\displaystyle +\,(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\,\ldots \,+b_{n}x^{n})\,\sin(\omega x)}$
${\displaystyle (k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})\,\cos(\omega x)}$
${\displaystyle (k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})\,e^{mx}}$	${\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n})\,e^{mx}}$
${\displaystyle (k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})e^{mx}\cos(\omega x)}$	${\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,\ldots \,+a_{n}x^{n})e^{mx}\cos(\omega x)}$ ${\displaystyle +\,(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\,\ldots \,+b_{n}x^{n})e^{mx}\sin(\omega x)}$
${\displaystyle (k_{0}+k_{1}x+k_{2}x^{2}+\,\ldots \,+k_{n}x^{n})e^{mx}\sin(\omega x)}$

Jika salah satu suku pada bentuk umum dari ${\displaystyle y}$ muncul pada solusi homogen, maka bentuk umumnya harus dikalikan dengan perpangkatan ${\displaystyle x}$ yang cukup besar agar solusinya menjadi bebas linier.^[1]

Contoh pengerjaan

Contoh 1

Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial

${\displaystyle {\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y=t^{3}}$

maka perhatikan bahwa ${\displaystyle t^{3}}$ adalah fungsi polinomial berderajat 3, sehingga solusi khususnya juga merupakan fungsi polinomial berderajat 3, dengan bentuk umum

${\displaystyle y_{k}=at^{3}+bt^{2}+ct+d}$

yang mengakibatkan

${\displaystyle {\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=3at^{2}+2bt+c}$

Substitusikan hasil di atas pada persamaan diferensial di awal, maka didapatkan $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y&=t^{3}\\\left(3at^{2}+2bt+c\right)+\left(at^{3}+bt^{2}+ct+d\right)&=(1)t^{3}+(0)t^{2}+(0)t+0\\(a)t^{3}+(3a+b)t^{2}+(2b+c)t+(c+d)&=(1)t^{3}+(0)t^{2}+(0)t+0\\\end{aligned}}}$$

sehingga diperoleh sistem persamaan

$${\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcrcl}a&&&&&&&=&1\\3a&+&b&&&&&=&0\\&&2b&+&c&&&=&0\\&&&&c&+&d&=&0\end{array}}}$$

yang solusinya ialah ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-3\\6\\-6\end{bmatrix}}}$. Sehingga, didapatkan

${\displaystyle y_{k}=t^{3}-3t^{2}+6t-6}$

Oleh karena solusi umum dari persamaan diferensial

${\displaystyle {\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y=0}$

adalah ${\displaystyle y_{u}=ke^{-t}}$, untuk sembarang konstanta ${\displaystyle k}$, maka solusi akhir dari persamaan diferensial

${\displaystyle {\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}+y=t^{3}}$

adalah ${\displaystyle y=ke^{-t}+t^{3}-3t^{2}+6t-6}$

Contoh 2

Perhatikan persamaan diferensial linier nonhomogen berikut:

${\displaystyle y''+4y=\cos(t)}$

Oleh karena bagian nonhomogen dari persamaan di atas adalah ${\displaystyle \cos(t)}$, maka solusi khususnya akan memiliki bentuk umum

${\displaystyle y_{k}=a\cos(t)+b\sin(t)}$

Substitusikan bentuk di atas ke persamaan diferensial di awal, maka didapatkan

${\displaystyle {\begin{aligned}y''+4y&=\cos(t)\\\left(-a\cos(t)-b\sin(t)\right)+4\left(a\cos(t)+b\sin(t)\right)&=\cos(t)\\3a\cos(t)+3b\sin(t)&=(1)\cos(t)+(0)\sin(t)\end{aligned}}}$

Dengan membandingkan koefisien pada kedua ruas, maka diperoleh

${\displaystyle {\begin{aligned}3a&=1\\a&={\tfrac {1}{3}}\\\\3b&=0\\b&=0\end{aligned}}}$

Sehingga, solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut adalah

${\displaystyle y_{k}={\frac {1}{3}}\cos(t)}$

Dengan menggunakan informasi bahwa ${\displaystyle y_{u}=p\cos(2t)+q\sin(2t)}$ adalah solusi dari persamaan diferensial linier homogen

${\displaystyle y''+4y=0}$

untuk sembarang konstanta ${\displaystyle p}$ dan ${\displaystyle q}$, maka solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

${\displaystyle y=p\cos(2t)+q\sin(2t)+{\frac {1}{3}}\cos(t)}$

Contoh 3

Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial linier nonhomogen

${\displaystyle {\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-5y=6e^{5x}}$

maka perhatikan bahwa ${\displaystyle y=ce^{5x}}$ adalah solusi umum dari persamaan diferensial linier homogen

${\displaystyle {\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-5y=0}$

untuk sembarang konstanta ${\displaystyle c}$. Akan tetapi, fungsi ${\displaystyle e^{5x}}$ juga muncul pada bagian nonhomogen dari persamaan diferensial yang diberikan (bagian ruas kanan), yang membuat solusi umumnya tidak bebas linier dengan bentuk umum solusi khususnya (yaitu ${\displaystyle y=\lambda e^{5x}}$). Alhasil, bentuk umum dari solusi khususnya harus dikalikan dengan perpangkatan ${\displaystyle x}$ yang cukup besar agar solusinya menjadi bebas linier. Dalam kasus ini, bentuk umum solusi khususnya menjadi

${\displaystyle y_{k}=\lambda xe^{5x}}$

Apabila fungsi tersebut (beserta turunannya) disubstitusikan ke persamaan diferensial yang diberikan, maka nilai ${\displaystyle \lambda }$ dapat diperoleh sebagai berikut

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-5y&=6e^{5x}\\\left(\lambda e^{5x}+5\lambda xe^{5x}\right)-5\left(\lambda xe^{5x}\right)&=6e^{5x}\\\lambda e^{5x}&=6e^{5x}\\\lambda &=6\end{aligned}}}$$

Maka dari itu, solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

${\displaystyle y=ce^{5x}+6xe^{5x}}$