Integral pada Trigonometri

Untuk Untuk integral sederhana dari fungsi trignometri, lihat Daftar integral dari fungsi trigonometri.

Dalam matematika, Integral pada trigonometri adalah kelopak integral yang melibatkan pada fungsi trigonometri.

Sinus(x) (biru) dan Kosinus(x) (hijau) diplot pada plot yang sama.

Integral Sinus

Plot pada Sin(x) untuk nilai 0 ≤ x ≤ 8 π.

Definisi integral sinus dengan nilai berbeda adalah adalah:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}$

Perhatikan jika not integral sin x ⁄ x adalah niali fungsi sinus, dan apabila nilai nol adalah hasil bilangan bulat pada fungsi Bessel.

Definisi, Si(x) adalah antiturunan dari nilai sin x / x yang terdapat nilai nol pada x = 0, dan si(x) adalah antiturunan yang hasil nilai nol pada x = ∞. Perbedaan mereka diberikan oleh Integral Dirichlet,

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}$

Dalam pemrosesan sinyal, osilasi integral sinus menyebabkan overshoot dan artefak dering saat menggunakan filter sinus, dan dering domain frekuensi jika menggunakan filter sinus terpotong sebagai filter low-pass.

Integral Kosinus

Plot pada fungsi Ci(x) untuk nilai pertidaksamaan 0 < x ≤ 8π .

Definisi dari integral kosinus yang berbeda adalah

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t~,}$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\operatorname {d} t=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

Darimana nilai γ ≈ 0.5772 1566 ... adalah hasil nilai Konstanta Euler–Mascheroni. Beberapa kosakata banyak yang menggunakan ci bukannya kosakata Ci.

Ci(x) adalah hasil nilai pada antiturunan dari cos x / x (yang menghilang sebagai nilai ${\displaystyle x\to \infty }$). Kedua definisi tersebut terkait dengan:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}$

Integral Sinus pada Hiperbolik

Sinus hiperbolik terpisahkan dapat didefinisikan sebagai:

${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}$

Hasil tersebut terkait dengan integral sinus biasa oleh

${\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}$

Integral Kosinus Pada Hipebolik

Rumus pada hiperbolik kosinus dengan nilai terpisahkan adalah

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\;\cosh t-1\;}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

Darimana ${\displaystyle \gamma }$ adalah Konstanta Euler–Mascheroni.

Rumus ini memiliki konstansa:

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}$

Integral pembantu

${\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)}$

${\displaystyle g(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)}$.

__________________________________ (cf Abramowitz & Stegun, p. 232)

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&=&{\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x).\\\end{array}}}$

Lihat pula

• Integral pada Logaritma

Referensi

Pranala luar

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Integral sine", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Integral cosine", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4