Remove ads
notasi pada diagram di sebelah kanan, sisi-sisinya adalah (AB), (BC), (CD), (DA) Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Dalam matematika, bentuk paling sederhana dari Hukum jajaran genjang (juga disebut Identitas jajaran genjang) termasuk dalam geometri dasar. Ini menyatakan bahwa jumlah kuadrat dari panjang keempat sisi jajaran genjang sama dengan jumlah kuadrat dari panjang dua diagonal. Menggunakan notasi pada diagram di sebelah kanan, sisi-sisinya adalah (AB), (BC), (CD), (DA). Tapi karena dalam geometri Euclidean sebuah jajaran genjang harus memiliki sisi yang berlawanan sama, yaitu (AB) = (CD) dan (BC) = (DA), hukum dapat dinyatakan sebagai
Jika jajaran genjang adalah persegi panjang, kedua diagonal memiliki panjang yang sama (AC) = (BD), so
dan pernyataan tersebut direduksi menjadi Teorema Pythagoras. Untuk umum segiempat dengan empat sisi belum tentu sama,
di mana x adalah panjang dari ruas garis yang menghubungkan titik tengah diagonal. Dapat dilihat dari diagram bahwa x = 0 untuk jajaran genjang, dan rumus umumnya disederhanakan menjadi hukum jajaran genjang.
Di jajaran genjang di sebelah kiri, misalkan AD=BC=a, AB=DC=b, ∠BAD = α. Dengan menggunakan hukum kosinus dalam segitiga ΔBAD, kita mendapatkan:
Dalam jajaran genjang, sudut damping adalah suplemen, oleh karena itu ∠ADC=180°- α. Dengan menggunakan hukum kosinus dalam segitiga ΔADC, kita mendapatkan:
Dengan menerapkan identitas trigonometri untuk hasil sebelumnya, kita mendapatkan:
Sekarang jumlah kuadrat dapat dinyatakan sebagai:
Setelah menyederhanakan ekspresi ini, kita mendapatkan:
Dalam sebuah ruang bernorma, pernyataan hukum jajaran genjang adalah persamaan yang berhubungan norma:
Dalam ruang darab dalam, normanya ditentukan menggunakan darab dalam:
Sebagai konsekuensi dari definisi ini, dalam ruang hasil kali dalam, hukum jajaran genjang adalah identitas aljabar, yang siap dibuat menggunakan properti hasil kali dalam:
Menambahkan dua ekspresi ini:
seperti yang dipersyaratkan.
Jika x ortogonal dengan y , maka dan persamaan di atas untuk norma penjumlahan menjadi:
yang merupakan Teorema Pythagoras.
Sebagian besar nyata dan kompleks ruang vektor bernorma tidak memiliki hasil kali dalam, tetapi semua ruang vektor bernorma memiliki norma (menurut definisi). Misalnya, norma yang umum digunakan adalah p - norm:
dimana adalah komponen vektor .
Dengan adanya norma, orang dapat mengevaluasi kedua sisi hukum jajaran genjang di atas. Fakta yang luar biasa adalah jika hukum jajaran genjang berlaku.[1][2]
Untuk setiap norma yang memenuhi hukum jajaran genjang (yang tentunya merupakan norma hasilkali dalam), hasilkali-dalam yang menghasilkan norma tersebut unik sebagai konsekuensi dari identitas polarisasi. Dalam kasus nyata, identitas polarisasi diberikan oleh:
atau setara dengan
Dalam kasus kompleks ini diberikan oleh:
Misalnya, menggunakan p - norm dengan p = 2 dan vektor nyata dan , evaluasi hasil perkalian dalam dilanjutkan sebagai berikut :
yang merupakan standar perkalian titik dari dua vektor.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.