Gelanggang terurut

Dalam aljabar abstrak, gelanggang terurut adalah gelanggang R (biasanya komutatif) dengan urutan total ≤ sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b, dan c di R berlaku:^[1]

• jika a ≤ b maka a + c ≤ b + c.
• jika 0 ≤ a dan 0 ≤ b maka 0 ≤ ab.

Bilangan real adalah gelanggang terurut yang juga merupakan lapangan terurut. Bilangan bulat, bagian dari bilangan real, adalah contoh gelanggang terurut yang bukan lapangan terurut.

Contoh

Gelanggang terurut umum muncul di aritmatika. Beberapa contohnya termasuk bilangan bulat,rasional dan bilangan real.^[2] (Rasional dan real sebenarnya membangun sebuah lapangan terurut.) Sebaliknya, bilangan kompleks tidak membentuk gelanggang terurut maupun lapangan, karena tidak ada hubungan urutan yang jelas antara elemen 1 dan i.

Elemen positif

Dalam analogi yang mirip dengan bilangan real, sebuah elemen c dari gelanggang terurut R dikatakan positif jika 0 < c, sedangkan negatif jika c < 0. Elemen 0 dianggap tidak positif maupun negatif.

Himpunan elemen positif dari gelanggan terurut R sering dilambangkan dengan R₊. Notasi alternatif, yang lebih disukai dalam beberapa disiplin ilmu, adalah menggunakan R₊ untuk himpunan elemen non-negatif, dan R₊₊ untuk himpunan elemen positif.

Nilai mutlak

Jika ${\displaystyle a}$ adalah elemen gelanggang terurut R, maka nilai mutlak dari ${\displaystyle a}$, yang dilambangkan dengan ${\displaystyle |a|}$, didefinisikan sebagai:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{jika }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{lainnya}},\end{cases}}}$

dengan ${\displaystyle -a}$ adalah invers aditif dari ${\displaystyle a}$ dan 0 adalah elemen identitas.

Gelanggang terurut diskrit

Gelanggang terurut diskrit adalah gelanggang terurut yang tidak memiliki elemen diantara 0 dan 1. Bilangan bulat adalah contoh gelanggang terurutan diskrit, tetapi bilangan rasional bukan.

Lihat pula

• Gelanggang terurutan sebagian

Catatan

Daftar di bawah ini mencakup referensi ke teorema yang secara resmi diverifikasi oleh proyek IsarMathLib Diarsipkan 2023-05-29 di Wayback Machine..

1. Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
2. Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (edisi ke-2nd), New York: Springer-Verlag, hlm. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001