Pembagi

Dalam ilmu matematika, pembagi (bahasa Inggris: divisor) atau faktor (bahasa Inggris: factor) dari suatu bilangan bulat ${\displaystyle n}$ adalah suatu bilangan bulat ${\displaystyle m}$ yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan ${\displaystyle n}$, sehingga ${\displaystyle n}$ merupakan hasil perkalian ${\displaystyle m}$. Dalam kasus tersebut, ${\displaystyle n}$ habis dibagi dengan ${\displaystyle m}$ jika ${\displaystyle m}$ merupakan pembagi dari ${\displaystyle n}$, sehingga ${\displaystyle n}$ dibagi ${\displaystyle m}$ tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

Pembagi bilangan 10 diilustrasikan dengan Cuisenaire rods: 1, 2, 5, dan 10

Definisi

Suatu bilangan bulat ${\displaystyle n}$ habis dibagi oleh bilangan bulat taknol ${\displaystyle m}$ jika terdapat bilangan bulat ${\displaystyle k}$ yang memenuhi ${\displaystyle n=km}$. Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:

${\displaystyle m\mid n}$

Notasi tersebut dapat dibaca: ${\displaystyle m}$ membagi ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ adalah pembagi ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ adalah faktor dari ${\displaystyle n,}$ atau ${\displaystyle n}$ adalah hasil perkalian ${\displaystyle m.}$ Jika ${\displaystyle m}$ tidak membagi ${\displaystyle n}$, maka notasinya adalah ${\displaystyle m\not \mid n.}$^[1][2]

Terdapat dua ekspresi matematika yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk ${\displaystyle m}$:

• Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle m\mid 0}$ untuk setiap bilangan bulat ${\displaystyle m}$.^[1][2]
• Jika ekspresi tersebut mensyaratkan ${\displaystyle m}$ bukan bilangan nol, ${\displaystyle m\mid 0}$ untuk setiap bilangan bulat taknol ${\displaystyle m}$.^[3][4]

Pengertian umum

Pembagi dapat berupa bilangan negatif atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.

1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap bilangan bulat. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut bilangan genap, dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut bilangan ganjil.

1, −1, ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle -n}$ disebut pembagi trivial dari ${\displaystyle n}$, sedangkan pembagi ${\displaystyle n}$ yang bukan merupakan pembagi trivial disebut pembagi nontrivial.^[5] Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut bilangan komposit. Angka −1 dan 1 serta bilangan prima tidak memiliki pembagi nontrivial.

Aturan keterbagian dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.

Contoh

Plot bilangan pembagi bilangan bulat dari 1 sampai 1000. Bilangan prima mempunyai tepat dua pembagi, dan bilangan yang sangat komposit dalam huruf tebal.

• 7 adalah pembagi dari 42 karena ${\displaystyle 7\times 6=42}$, sehingga dapat dikatakan ${\displaystyle 7\mid 42}$. Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
• Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
• Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• ${\displaystyle 5\mid 0}$, karena ${\displaystyle 5\times 0=0}$.
• Himpunan semua faktor 60, ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$, yang jika diurutkan secara parsial berdasarkan keterbagian (divisibility), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan diagram Hasse:

Pembahasan lanjutan

Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.

• Jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle b\mid c}$, maka ${\displaystyle a\mid c}$. Kaidah tersebut termasuk relasi transitif.
• Jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle b\mid a}$, maka ${\displaystyle a=b}$ atau ${\displaystyle a=-b.}$
• Jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle a\mid c,}$ maka ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ berlaku, seperti halnya ${\displaystyle a\mid (b-c).}$^[a] Namun, jika ${\displaystyle a\mid b}$ dan ${\displaystyle c\mid b,}$ maka ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ tidak selalu berlaku (misalnya, ${\displaystyle 2\mid 6}$ dan ${\displaystyle 3\mid 6}$, tapi ${\displaystyle 5\not \mid 6.}$).

Jika ${\displaystyle a\mid bc}$ dan ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$^[b], maka ${\displaystyle a\mid c}$. Kaidah ini disebut Lemma Euklidean.

Jika ${\displaystyle p}$ merupakan bilangan prima dan ${\displaystyle p\mid ab}$, maka ${\displaystyle p\mid a}$ atau ${\displaystyle p\mid b.}$

Bilangan pembagi postif ${\displaystyle n}$ yang tidak sama dengan ${\displaystyle n}$ disebut pembagi sejati atau bagian alikuot dari ${\displaystyle n}$ (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi ${\displaystyle n}$ melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut bagian alikuan dari ${\displaystyle n}$.

Bilangan bulat ${\displaystyle n>1}$ yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.

Suatu pembagi positif dari bilangan ${\displaystyle n}$ merupakan hasil kali atas bilangan faktor prima dari ${\displaystyle n}$ yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari teorema dasar aritmetika.

Bilangan ${\displaystyle n}$ merupakan bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan bilangan defisien jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari ${\displaystyle n,}$ atau merupakan bilangan berlimpah jika hasil jumlah tersebut lebih dari ${\displaystyle n.}$

Lihat pula

• Fungsi aritmetik
• Kaidah divisibilitas
• Fungsi pembagi
• Algoritme Euclid
• Pecahan
• Tabel pembagi—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
• Tabel faktor bilangan prima—A table of prime factors for 1–1000

Referensi

1. Hardy & Wright 1960, hlm. 1
2. Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, hlm. 4
3. Sims 1984, hlm. 42
4. Durbin (2009), hlm. 57, Chapter III Section 10
5. "FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois" (PDF).

Pustaka

• Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7.
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9

Templat:Divisor classes

1. ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).}$ Demikian pula, ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).}$
2. ${\displaystyle \gcd }$ merujuk pada faktor persekutuan terbesar (FPB).