Deret Taylor

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Informasi lebih lanjut Kalkulus, Definisi ...

Tutup

Seiring dengan meningkatnya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan $\sin x$ (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}

dengan n! melambangkan faktorial n dan f⁽ⁿ⁾(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)⁰ dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Thumb — Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari $sin x$ sekitar intinya $x = 0$ . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai $| x | 9 9!$ . Secara khusus, untuk nilai $-1 < x < 1$ , kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai $ln(1 + x)$ dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai $a = 0$ . Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari $-1 < x \leq 1$ ; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.^{[butuh rujukan]}

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai $n$ Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya $R n (x)$ . Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi $f$ konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya $f (x)$ . Misalnya Fungsi

f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel. Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.^[1]

Namun demikian, ada generalisasi^[2]^[3] dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap terikat dari fungsi kontinu pada nilai $(0,\infty)$ , menggunakan kalkulus beda hingga. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena Einar Hille, bahwa untuk apa saja $t > 0$ ,

\lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).

Darimana nilai $Δ n h$ adalah $n$ Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah $h$ . Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan deret Newton. Saat fungsinya $f$ bersifat analitik di $a$ , istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun $a i$ , identitas deret pangkat berikut berlaku:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.

Jadi secara khusus,

f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-{\frac {t}{h}}}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {\left({\frac {t}{h}}\right)^{j}}{j!}}.

Hukum jumlah besar menyiratkan bahwa identitas memegang.^[4]

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul.^[5] Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks $x$ .

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial pada $e^{x}$ (dengan basis $e$ ) memiliki deret Maclaurin

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

.

Hal tersebut menyatu untuk nilai $x$ .

Logaritma natural

Logaritma natural (dengan basis $e$ ) memiliki deret Maclaurin

{\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}

Deret geometris

Deret geometris dan turunannya memiliki deret Maclaurin

{\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}

Semuanya konvergen untuk $|x|<1$ . Ini adalah kasus khusus dari of binomial series diberikan di bagian selanjutnya.

Deret Binomial adalah deret pangkat

(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}

yang koefisiennya adalah koefisien binomial umum

{\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.

(Jika $n = 0$ , produk ini adalah produk kosong dan memiliki nilai 1.) Menyatu $|x|<1$ untuk bilangan real atau kompleks apa pun $α$ .

Darimana nilai $α = -1$ , ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus $α = 12$ dan $α = - 12$ berikan fungsi akar kuadrat dan pembalikan:

{\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\ldots ,\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\ldots .\end{aligned}}

Jika hanya suku linier yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi perkiraan binomial.

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

{\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}

Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka $B k$ muncul dalam perluasan $tan x$ adalah angka Bernoulli. Hal itu $E k$ dalam perluasan $sec x$ adalah nomor Euler.

Fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

{\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}

Angka-angka $B k$ muncul di seri untuk $tanh x$ adalah angka Bernoulli.

Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan^[6]^[7]

{\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi $f(x,y)$ yang bergantung pada dua variabel, $x$ dan $y$ , seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya $(a, b)$ is

f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial.

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,

Darimana $D f (a)$ adalah gradien dari nilai $f$ dievaluasi pada $x = a$ dan $D 2 f (a)$ adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

{\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha

yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

Contoh

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik $(a, b) = (0, 0)$ dari fungsi tersebut

f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

{\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

{\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

T(x,y)=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}+\cdots

menghasilkan

{\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}

Setelah $ln(1 + y)$ bersifat analitik $| y | < 1$ , kita punya

e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1.

Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk (1 − x)⁻¹ merupakan deret geometri

1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!

maka deret Taylor untuk x⁻¹ pada a = 1 adalah

1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk log(1 − x), di mana log melambangkan logaritma natural:

-x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada a = 1 adalah

(x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada suatu a = x₀ adalah:

\log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial e^x pada a = 0 adalah

1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif e^x terhadap x juga adalah e^x dan e⁰ sama dengan 1. Ini menyisakan elemen (x − 0)ⁿ pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

[1]
Rudin, Walter (1980), Analisis Nyata dan Kompleks, New Dehli: McGraw-Hill, hlm. 418, Exercise 13, ISBN 0-07-099557-5
[2]
Feller, William (1971), Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2 (edisi ke-3rd), Wiley, hlm. 230–232.
[3]
Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Analisis fungsional dan semi-kelompok, Publikasi Kolokium AMS, 31, American Mathematical Society, hlm. 300–327.
[4]
Feller, William (1970). Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya. 2 (edisi ke-3). hlm. 231.
[5]
Sebagian besar dapat ditemukan di (Abramowitz & Stegun 1970).
[6]
Lars Hörmander (1990), Analisis operator diferensial parsial, volume 1, Springer, Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′
[7]
Duistermaat; Kolk (2010), Distribusi: Teori dan aplikasi, Birkhauser, ch. 6

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Taylor Series". MathWorld.
Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
"Discussion of the Parker-Sochacki Method Diarsipkan 2005-12-02 di Wayback Machine."
minea.org
Another Taylor visualisation Diarsipkan 2007-06-05 di Wayback Machine. - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
Taylor series revisited for numerical methods pada Numerical Methods for the STEM Undergraduate

[1] [1]
Rudin, Walter (1980), Analisis Nyata dan Kompleks, New Dehli: McGraw-Hill, hlm. 418, Exercise 13, ISBN 0-07-099557-5

[2] [2]
Feller, William (1971), Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2 (edisi ke-3rd), Wiley, hlm. 230–232.

[3] [3]
Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Analisis fungsional dan semi-kelompok, Publikasi Kolokium AMS, 31, American Mathematical Society, hlm. 300–327.

[4] [4]
Feller, William (1970). Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya. 2 (edisi ke-3). hlm. 231.

[5] [5]
Sebagian besar dapat ditemukan di (Abramowitz & Stegun 1970).

[6] [6]
Lars Hörmander (1990), Analisis operator diferensial parsial, volume 1, Springer, Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′

[7] [7]
Duistermaat; Kolk (2010), Distribusi: Teori dan aplikasi, Birkhauser, ch. 6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]