Deret Taylor

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Seiring dengan meningkatnya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan ${\displaystyle \sin x}$ (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

Fungsi eksponensial (warna biru), dan jumlahan suku ke n+1 awal deret Taylornya di titik 0 and (warna merah).

Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

dengan n! melambangkan faktorial n dan f ⁽ⁿ⁾(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)⁰ dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Kesalahan perkiraan dan konvergensi

Artikel utama: Teorema Taylor

Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.

Polinomial Taylor untuk ln(1 + x) hanya memberikan perkiraan yang akurat dalam rentang tersebut −1 < x ≤ 1. Untuk x > 1, Polinomial Taylor dengan derajat yang lebih tinggi memberikan perkiraan yang lebih buruk.

Perkiraan Taylor untuk ln(1 + x) (black). Untuk x > 1, perkiraannya berbeda.

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sin x sekitar intinya x = 0. Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

${\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai |x| ⁹9!. Secara khusus, untuk nilai −1 < x < 1, kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai ln(1 + x) dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai a = 0. Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari −1 < x ≤ 1; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.^{[butuh rujukan]}

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai n Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya R_n(x). Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi f konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya f (x). Misalnya Fungsi

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel. Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.^[1]

Generalisasi

Namun demikian, ada generalisasi^[2][3] dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap terikat dari fungsi kontinu pada nilai (0,∞), menggunakan kalkulus beda hingga. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena Einar Hille, bahwa untuk apa saja t > 0,

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$

Darimana nilai Δnh adalah n Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah h. Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan deret Newton. Saat fungsinya f bersifat analitik di a, istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun a_i, identitas deret pangkat berikut berlaku:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$

Jadi secara khusus,

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-{\frac {t}{h}}}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {\left({\frac {t}{h}}\right)^{j}}{j!}}.}$

Hukum jumlah besar menyiratkan bahwa identitas memegang.^[4]

Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum

Lihat pula: Daftar deret matematika

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul.^[5] Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks x.

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial e^x (berwarna biru), dan jumlah dari yang pertama n + 1 persyaratan seri Taylor-nya di 0 (merah).

Fungsi eksponensial pada ${\displaystyle e^{x}}$ (dengan basis e) memiliki deret Maclaurin

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$.

Hal tersebut menyatu untuk nilai x.

Logaritma natural

Logaritma natural (dengan basis e) memiliki deret Maclaurin

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$

Deret geometris

Deret geometris dan turunannya memiliki deret Maclaurin

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$

Semuanya konvergen untuk ${\displaystyle |x|<1}$. Ini adalah kasus khusus dari of binomial series diberikan di bagian selanjutnya.

Deret Binomial

Deret Binomial adalah deret pangkat

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$

yang koefisiennya adalah koefisien binomial umum

${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$

(Jika n = 0, produk ini adalah produk kosong dan memiliki nilai 1.) Menyatu ${\displaystyle |x|<1}$ untuk bilangan real atau kompleks apa pun α.

Darimana nilai α = −1, ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus α = 12 dan α = −12 berikan fungsi akar kuadrat dan pembalikan:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\ldots ,\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\ldots .\end{aligned}}}$

Jika hanya suku linier yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi perkiraan binomial.

Perkiraan dalam fungsi

Fungsi trigonometri

Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$

Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka B_k muncul dalam perluasan tan x adalah angka Bernoulli. Hal itu E_k dalam perluasan sec x adalah nomor Euler.

Fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$

Angka-angka B_k muncul di seri untuk tanh x adalah angka Bernoulli.

Deret Taylor sebagai definisi

Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor dalam beberapa variabel

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan^[6][7]

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi ${\displaystyle f(x,y)}$ yang bergantung pada dua variabel, x dan y, seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya (a, b) is

${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial.

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$

Darimana D f (a) adalah gradien dari nilai f dievaluasi pada x = a dan D² f (a) adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha$ !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}

yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

Contoh

Pendekatan deret Taylor orde dua (berwarna oranye) dari suatu fungsi f (x,y) = e^x ln(1 + y) di sekitar asalnya.

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik (a, b) = (0, 0) dari fungsi tersebut

${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}$

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

${\displaystyle T(x,y)=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}+\cdots }$

menghasilkan

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}}$

Setelah ln(1 + y) bersifat analitik |y| < 1, kita punya

${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$

Contoh

Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk (1 − x)⁻¹ merupakan deret geometri

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

maka deret Taylor untuk x⁻¹ pada a = 1 adalah

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk log(1 − x), di mana log melambangkan logaritma natural:

${\displaystyle -x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!}$

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada a = 1 adalah

${\displaystyle (x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!}$

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada suatu a = x₀ adalah:

${\displaystyle \log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .}$

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial e^x pada a = 0 adalah

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif e^x terhadap x juga adalah e^x dan e⁰ sama dengan 1. Ini menyisakan elemen (x − 0)ⁿ pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

Lihat pula

• Teorema Taylor
• Deret pangkat
• Teorema nilai purata

Referensi

1. Rudin, Walter (1980), Analisis Nyata dan Kompleks, New Dehli: McGraw-Hill, hlm. 418, Exercise 13, ISBN 0-07-099557-5
2. Feller, William (1971), Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2 (edisi ke-3rd), Wiley, hlm. 230–232.
3. Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Analisis fungsional dan semi-kelompok, Publikasi Kolokium AMS, 31, American Mathematical Society, hlm. 300–327.
4. Feller, William (1970). Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya. 2 (edisi ke-3). hlm. 231.
5. Sebagian besar dapat ditemukan di (Abramowitz & Stegun 1970).
6. Lars Hörmander (1990), Analisis operator diferensial parsial, volume 1, Springer, Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′
7. Duistermaat; Kolk (2010), Distribusi: Teori dan aplikasi, Birkhauser, ch. 6

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Taylor Series". MathWorld.
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method Diarsipkan 2005-12-02 di Wayback Machine."
• minea.org
• Another Taylor visualisation Diarsipkan 2007-06-05 di Wayback Machine. - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods pada Numerical Methods for the STEM Undergraduate