Ruang kompak

Dalam matematika, khususnya topologi umum, kekompakan (bahasa Inggris: compactness) adalah sifat yang memperumum gagasan subhimpunan tertutup dan subhimpunan terbatas dari ruang Euklides.^[1] Gagasan tersebut dapat menjadi presisi dengan mengatakan tak ada "bulatan kosong" atau "titik akhir yang hilang" di dalam suatu ruang, dalam artian bahwa harus ada nilai limit dari titik di ruang. Sebagai contoh, interval (0,1) bukan kompak sebab interval tersebut tidak punya nilai limit dari 0 dan 1, sedangkan [0,1] kompak sebab mempunyai nilai limit dari 0 dan 1. Dengan cara yang serupa, ruang bilangan rasional ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bukan kompak sebab ada bulatan kosong yang tak berhingga banyaknya nilai-nilai limit dari bilangan irasional. Ruang bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bukan kompak sebab tidak mempunyai nilai limit dari ${\displaystyle +\infty }$ dan ${\displaystyle -\infty }$, tetapi garis bilangan real yang diperluas adalah kompak sebab mengandung nilai limit dari tak terhingga.

Berdasarkan kriteria kekompakan ruang Euklides, seperti yang dinyatakan dalam teorema Heine–Borel, interval A = (−∞, −2] bukan kompak sebab tidak ada batasnya. Interval C = (2, 4) bukan kompak karena interval tersebut tidak tertutup. Sedangkan interval B = [0, 1] kompak sebab intervalnya tertutup dan terbatas.

Definisi

Definisi sampul terbuka

Secara formal, ruang topologi X disebut kompak jika masing-masing sampul terbuka memiliki sub-sampul terhingga.^[2] Ini mengartikan bahwa X kompak jika untuk setiap koleksi C dari subhimpunan dari X sehingga

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in C}x}$,

akan ada subhimpunan terhingga F dari C sedemikian rupa sehingga

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}x.}$

Kekompakan himpunan bagian

Subhimpunan K dari ruang topologis X dikatakan kompak jika subhimpunan itu kompak sebagai subruang (dalam subruang topologi). Ini mengartikan bahwa K adalah kompak jika untuk setiap koleksi sebarang C dari subhimpunan terbuka dari X sehingga

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{c\in C}c}$,

akan ada subhimpunan terhingga F dari C sedemikian rupa sehingga

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{c\in F}c}$.

Kekompakan merupakan sifat "topologis". Ini mengaritkan bahwa jika ${\displaystyle K\subset Z\subset Y}$, dengan subhimpunan Z dilengkapi dengan topologi subruang, maka K kompak di Z jika dan hanya jika K kompak di Y.