Loading AI tools
Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.[1]
Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
dengan adalah bilangan rasio pengali () dan adalah faktor skala.
Misal adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai
Bukti |
---|
Kita misalkan , dan . Kita teruskan untuk . Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu
|
Lebih umumnya, diberikan dan misal suku awal adalah . Dari hasil di atas, diperoleh
dan
Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan
Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati
dengan adalah deret geometri, dan adalah suku pertama.
Bukti deret geometri | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kita mulai dari kasus di mana
Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan membuktikan bahwa
Cara yang serupa untuk kasus . |
Jika , maka deret geometri didapati
Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan
untuk . Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah serta . Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah
Bukti deret geometri, kasus |
---|
Karena , maka diperoleh
Ambil pada kedua ruas, diperoleh Karena diketahui , maka . Karena itu,
|
Untuk kasus , tidak mempunyai hasil (karena bernilai ) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.[4][5]
Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya. |
dst
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.