Quaternion

Le quaterniones^[1] es un extension del numeros real, similar al numeros complexe. Le numeros complexe es un extension del numeros real con le addition del unitate imaginari ${\displaystyle i}$, tal que ${\displaystyle i^{2}=-1}$. Pro le insimul del quaterniones, le symbolo ${\displaystyle \mathbb {H} }$ es usate. Quaterniones es un extension generate de maniera analoge addente le unitates imaginari: ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ e ${\displaystyle k}$ al numeros real e tal que ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$. Illo se pote resumer in iste tabella de multiplication.

*	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$

Quaternion
subclasse de: hypercomplex number[*], tetrad[*], Par ordinate, octonion
parte de: algebra of real quaternions[*]
precedite per: numero complexe , succedite per: octonion
data de creation: 1843
Commons: Quaternions

William Rowan Hamilton

Ergo, un quaternion es un numero del forma ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$, ubi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, e ${\displaystyle d}$ es numeros real univocamente determinate pro cata quaternion.

Le multiplication del quaterniones non es commutative: ${\displaystyle ij=k}$, ${\displaystyle ji=-k}$, ${\displaystyle jk=i}$, ${\displaystyle kj=-i}$, ${\displaystyle ki=j}$, ${\displaystyle ik=-j}$. Le quaterniones es un exemplo de corpore asymmetric, un structura algebric similar a un corpore, sed non commutative in le multiplication. Le multiplication es associative e tote quaternion non nulle possede un unic inverso. Illos forma un algebra associative 4-dimensional super le numeros real e le numeros complexe forma un subinsimul de illo, le quaterniones non forma un algebra associative super le numeros complexe.

Le valor absolute de un quaternion ${\displaystyle z=a+bi+cj+dk}$ remane definite per ${\displaystyle |z|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$

Usante le function distantia definite como ${\displaystyle d(z,w)=|z-w|}$, le quaterniones forma un spatio metric e tote le operationes arithmetic es continue.

Etiam, on ha que ${\displaystyle |zw|=|z||w|}$ pro qualcunque quaterniones ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle w}$.

Usante como norma le valor absolute, le quaterniones conforma un algebra de Banach real.

Le insimul del quaterniones de valor absolute ${\displaystyle 1}$ forma un sphera 3-dimensional ${\displaystyle S_{3}}$ e un gruppo (includente gruppo de Lie) con le multiplication. Iste gruppo actua, per medio de conjugation, super le copia de ${\displaystyle \mathbb {R} _{3}}$ constituite pro le quaterniones con su parte real equal a ${\displaystyle 0}$. Il non es difficile verificar que le conjugation pro un quaternion unitate de parte real ${\displaystyle \cos t}$ es un rotation de angulo ${\displaystyle 2t}$ con le axe de gyro in le direction del parte imaginari. Ergo, ${\displaystyle S_{3}}$ constitue un copertura duple del gruppo ${\displaystyle SO(3)}$ de matrices orthogonal ${\displaystyle 3\times 3}$ de determinante 1; es isomorphe a ${\displaystyle SU(2)}$, le gruppo de matrices ${\displaystyle 2\times 2}$ complete unitari e de determinante unitate.

Pro plus detalios super le rotation in le spatio per medio del quaterniones, vide quaterniones e rotation in le spatio

Si ${\displaystyle A}$ es le insimul de quaterniones del forma ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$ ubi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle d}$, illo es o tote numeros integre o tote numeros rational, con numerator impare e denominator 2. Le insimul ${\displaystyle A}$ es un anello e un reticulo. Il ha 24 quaterniones unitari in iste anello e illos es le vertices de un polytopo regular, nominate ${\displaystyle \{3,4,3\}}$ in le notation de Schlafli.

Referentias

1. Derivation (in ordine alphabetic): (ca) Quaternió || (de) Quaternion || (en) Quaternion || (es) Cuaternión || (fr) Quaternion || (it) Quaternione || (pt) Quaternião || (ro) Cuaternion || (ru) Кватернион