Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (անգլ.՝ de Moivre's formula , նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած x կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի) և n ամբողջ թվի համար
![{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de1e7478b060024b4168b3724213295c854ea35)
որտեղ i֊ն կեղծ միավորն է (i2 = −1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը[1]։ cos (x) + i sin (x) արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis (x)
Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ x֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(nx)֊ի և sin(nx)֊ի համար cos (x)֊ի և sin (x)֊ի տեսանկյունից։
Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ n ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել n֊րդ միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, z կոմպլեքս թվերին այնպես, որ zn = 1։
Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից
![{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b697198af2e7ace6cc64c8c6c4aca34e9860bb41)
և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից։
![{\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b8cd4f0d9499969ce09c67cd2ac98ed7c213ed)
Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,
![{\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9eb0c11fc0a2594df9a7392501d94a9aa35a0a)
Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ n ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(n):
![{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be25a5af62900bd9f96b2b2642aeb155ccf9b53b)
n > 0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(k)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ kբնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք
![{\displaystyle \left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fd042650893d6a2a0ac68e94a38c99a5e20306)
Հիմա համարելով S(k + 1):
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k+1}&=\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{k}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)&&\qquad {\text{ինդուկցիայի վարկածով}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos(x)-\sin \left(kx\right)\sin(x)+i\left[\cos \left(kx\right)\sin(x)+\sin \left(kx\right)\cos(x)\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\text{եռանկյունաչափական նույնություններով}}\end{alignedat}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb023b2dc7d1bb642688075d8852ed25a3dfde43)
Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։
Մենք եզրակացնում ենք, որ S(k) ենթադրում է S(k + 1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք −n էքսպոնենտը n բնական թվի համար։
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{-n}&=\left[\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^{n}\right]^{-1}\\&=\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]^{-1}\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\qquad (*)\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2991b8c4a62b1f47b805e684ad6c87d726e0225)
Հավասարումը (*) նույնության արդյունք է
![{\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae89ba90e7af26cabe2a8d6dca68c7b1f8af15c)
z = cos (nx) + i sin (nx) համար։ Այդ պատճառով, S(n)֊ը բավարարում է բոլոր n ամբողջ թվերին։
Լինելով կոմպլեքս թվերի հավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե x֊ը, հետևաբար նաև cos x֊ն ու sin x֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից
։
Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում x կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ x֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա n = 2 և n = 3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2x)&=\left(\cos {x}\right)^{2}+\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=2\left(\cos {x}\right)^{2}-1\\\sin(2x)&=2\left(\sin {x}\right)\left(\cos {x}\right)\\\cos(3x)&=\left(\cos {x}\right)^{3}+3\cos {x}\left(\left(\cos {x}\right)^{2}-1\right)&&=4\left(\cos {x}\right)^{3}-3\cos {x}\\\sin(3x)&=3\left(\cos {x}\right)^{2}\left(\sin {x}\right)-\left(\sin {x}\right)^{3}&&=3\sin {x}-4\left(\sin {x}\right)^{3}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b4c856d4937e860cb3aad6392ffc19e7b21db6)
cos(nx)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում TnՉեբիշեվի բազմանդամի Tn(cos x) արժեքն է cos x֊ով։
Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։ Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է n ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ n = 12, Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝
- for x = 0 բանաձևը տալիս է 11⁄2 = 1, և
- for x = 2 բանաձևը տալիս է 11⁄2 = −1
Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 11⁄2 արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։
Մյուս կողմից, 1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե z֊ը և w֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա
![{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562727455924d048a3eb94363324a97e65b96dcd)
բազմարժեք է, մինչդեռ
![{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059829d411907cd533d281af1e19a83296fb3d1a)
ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ
![{\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a01933fd5dee56a68bfe4129d13efc1e75f9fc3)
is one value of
![{\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e63c6bfbaf2684ccc0dbd70a82ed4970497d329)
Կոմպլեքս թվերի արմատներ
Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, 1nրդ աստիճան) n֊րդ արմատները գտնելու համար։
Եթե z֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես
![{\displaystyle z=r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0488e52c5b2ca68f3626a7bde8b8d7800a4bf2)
ապա n n֊րդ արմատները z֊ի տրվում են
![{\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left[\cos \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2\pi k}{n}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5463f7b5a30311c62defc1ddcfd0247883fe9240)
որտեղ k֊ն ընկած է 0 ֊ից n − 1 ամբողջ թվերի մեջ։
Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։
Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն
Քանի որ cosh x + sinh x = ex, Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր n ∈ ℤ համար
![{\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20768daad52c7b68f383817d5dbc4060f41c09f)
Նաև, եթե n ∈ ℚ, ապա (cosh x + sinh x)n մեկ արժեքը կարող է լինել cosh nx + sinh nx[2]:
Քվատերնիոններ
Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը
![{\displaystyle d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665f3588d72246cfbc3e18863cca3c392bb26647)
կարող է ներկայացվել
![{\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \mathrm {for} \;0\leq \theta <2\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b5583af0a4f858cfda8c08929a20dae6413387)
Այս տեսքում,
![{\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd92e570a5433773b725b3652f607912ab53147f)
և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես
![{\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad \mathrm {and} \quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9544a7429524e7c51d239a15ecc2bc66a9bacf78)
Այս դեպքում այդ a2 + b2 + c2 ≠ 0,
![{\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93527feb6887f66884f58cfa9d3eb71b1ed7c1c3)
այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝
[3]
Օրինակ
![{\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f2edd591298baf2d98f3efee59faba548b7379)
խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել
![{\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad \mathrm {where} \;\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c832522033b3653ba97407a96dc2902189bbeda)
Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad \theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef5fd71618537946b3a20dc4ccb2ba036e0c20f)
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. էջ 74. ISBN 0-486-61272-4. .
Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (4th ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. էջ 792. ISBN 9780321497444. Mukhopadhyay, Utpal (2006 թ․ օգոստոս). «Some interesting features of hyperbolic functions». Resonance. 11 (8): 81–85. doi:10.1007/BF02855783.