Մաթեմատիկական ճոճանակ

Մաթեմատիկական ճոճանակ, փակ համակարգ, որի մեջ ընդգրկված են թելը, թելի երկարությունից մի քանի անգամ փոքր տրամագծով և ծանր գունդը։ Ճոճանակների մաթեմատիկան ընդհանուր առմամբ բավականին բարդ է։ Պայմանների պարզեցմամբ կարելի է դիտարկել պարզ ճոճանակ, որի դեպքում շարժման հավասարումները լուծելի են փոքր անկյան տատանումների համար։

Ճոճանակի անիմացիան, որ ցույց է տալիս արագության և արագացման վեկտորները

Ընդհանուր դեպքում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները հարմոնիկ չեն․ տատանման պարբերությունը կախված է լայնույթից։ Եթե տատանումները փոքր են, ապա պարբերությունը կարելի է որոշել

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}}$

բանաձևով, որտեղ T-ն պարբերությունն է, L-ը՝ թելի երկարությունը, g-ն՝ ազատ անկման արագացումը։

Շարժման հավասարման լուծում

Ներդաշնակ տատանումներ

Ճոճանակի փոքր տատանումները հանդիսանում են ներդաշնակ տատանումներ։ Դա նշանակում է, որ հավասարակշռության վիճակից ճոճանակի շեղումը փոփոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով^[1]։

${\displaystyle x=A\sin(\theta _{0}+\omega t),}$

որտեղ ${\displaystyle A}$ — տատանման լայնույթն է, ${\displaystyle \theta _{0}}$ — տատանման սկզբնական փուլ, ${\displaystyle \omega }$ —շրջանային հաճախություն։

Ոչ գծային ճոճանակ

Ավելի մեծ լայնույթով տատանումների հավասարումն ավելի բարդ տեսք ունի։

${\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega t;\varkappa ),}$

որտեղ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ — Յակոբի սինուսն է. ${\displaystyle \varkappa <1}$համար,նա պարբերական ֆունկցիա է,փոքր ${\displaystyle \varkappa }$-ի համարհամընկնում է սովորական սինուսի հետ։

${\displaystyle \varkappa }$ պարամետրը որոշվում է

${\displaystyle \varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega ^{2}}{2\omega ^{2}}},}$

որտեղ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}}$ — ճոճանակի էներգիան է t⁻²

Ոչ գծային ճոճանակի տատանման պարբերությունը որոշվում է․

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega }{K(\varkappa )}},}$

${\displaystyle T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}}$,

որտեղ ${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$ — փոքր տատանումների պարբերությունն է, ${\displaystyle \alpha }$ — ճոճանակի առավելագույն շեղումն է ուղղահայացից։

Մինչև 1 ռադիան (≈60°) անկյունների դեպքում․

${\displaystyle T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).}$

Տես նաև

• Ճոճանակներ
• Ֆուկոյի ճոճանակ
• Ֆիզիկական ճոճանակ

Ծանոթագրություն

1. Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.

Աղբյուրներ

• Ազատ տատանումներ։ Մաթեմատիկական ճոճանակ(ռուս.)
• Ֆիզիկական հանրագիտարան(ռուս.)