Կլայն-Գորդոնի հավասարում
From Wikipedia, the free encyclopedia
Կլայն-Գորդոնի հավասարում (երբեմն՝ Կլայն-Ֆոկ-Գորդոնի հավասարում կամ Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում,Կլայն-Ֆոկի հավասարում[1][2]), Շրյոդինգերի հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։
,
Կամ, բնական միավորներով (որտեղ )՝
,
որտեղ -ը դ’Ալամբերի օպերատորն է։
Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կիրառվում է զանգված ունեցող (հանգստի զանգված) արագ շարժվող մասնիկների համար։ Կիրառելի է սկալյար զանգվածեղ դաշտերի դեպքում։ Կարող է ընդհանրացվել ամբողջ և կիսաամբողջ սպիներով մասնիկների համար[3]։ Բացի այդ, պարզ է, որ այս հավասարումը ալիքային հավասարման ընդհանրացումն է՝ պիտանի զանգված չունեցող սկալյար և վեկտրական դաշտերի նկարագրման համար։
Կլայն-Գորդոնի հավասարումով նկարագրվող մեխանիկական համակարգերը (իրական կամ երևակայական) կարող են լինել ալիքային հավասարումով նկարագրվող համակարգերի ձևափոխություններ, օրինակ.
- Միաչափ դեպքում՝ առաձգական (Հուկի) տակդիրին ամրացված ձգված ծանր լար։
- Մակրոսկոպիկորեն իզոտրոպ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր ատոմը գտնվում է, բացի հարևան ատոմների հետ կապից, նաև տարածության մեջ ֆիքսված քառակուսի պոտենցիալ փոսում։
- Իրական բյուրեղների դեպքում ավելի իրատեսական է դիտարկել լայնական տատանումների մոդերը, որոնց դեպքում, օրինակ, ատոմների հարևան շերտերը տատանվում են հակափուլով։ Այդպիսի մոդերը (գծային մոտավորությամբ) ենթարկվում են Կլայն-Գորդոնի երկչափ հավասարմանը, որտեղ կոորդինատները շերտերի հարթությունում են։
Հավասարումը, որտեղ վերջին («զանգվածեղ») անդամն ունի սովորականին հակառակ նշան, տեսական ֆիզիկայում նկարագրում է տախիոն։ Հավասարման այսպիսի տարբերակը թույլ է տալիս պարզա մեխանիկական իրագործում։
Կլայն-Գորդոնի հավասարումն ազատ մասնիկի համար (վերը բերված դեպքը) պարզ լուծում ունի սինուսոիդային հարթ ալիքների տեսքով։
- Դիտողություն. Տարածական ածանցյալները տեղադրելով զրո (ինչը քվանտային մեխանիկայում համապատասխանում է մասնիկի զրո իմպուլսին), Կլայն-Գորդոնի սովորական հավասարման համար կունենանք
հաճախությամբ հարմոնիկ տատանակ, ինչը համապատասխանում է մասնիկի
զանգվածով որոշվող, հանգստի ոչ զրոյական էներգիային։ Հավասարման տախիոնային տարբերակն այդ դեպքում կայուն չէ, իսկ լուծումն ընդհանուր դեպքում ներառում է անսահմանափակ աճող էքսպոնենտ։