Բուրգ, բազմանիստ, որի նիստերից մեկը (կոչվում է հիմք) կամայական բազմանկյուն է, իսկ մյուս նիստերը (կոչվում են կողմնային նիստեր) եռանկյուններն են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ[1]։ Ըստ հիմքի անկյունների թվի՝ տարբերակում են եռանկյուն բուրգ, քառանկյուն բուրգ և այլն։
Բուրգը կոնի մասնավոր դեպք է[2]։
Բուրգի երկրաչափության սկզբնավորվել է Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, սակայն ակտիվ զարգացում ապրել է Հին Հունաստանում։ Բուրգի ծավալը հայտնի էր հին եգիպտացիներին։ Առաջին հույն մաթեմատիկոսը, որ պարզել է, թե ինչին է հավասար բուրգի ծավալը, եղել է Դեմոկրիտեսը[3], իսկ ապացուցել է այն Եվդոքս Կնիդոսցին։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը համակարգել է բուրգի մասին գիտելիքներն իր «Սկզբունքների» 12-րդ հատորում, ինչպես նաև ձևակերպել է բուրգի առաջին սահմանումը. երկրաչափական մարմին, որը սահմանափակված է հարթություններով, որոնք սկիզբ են առնում մեկ հարթությունից և հատվում են մեկ կետում (գիրք 11, սահմանում 12[4])։
SO – բարձրություն SF – հարթագիծ OF – հիմքին ներգծված շրջանագծի շառավիղ
Կողմնային նիստեր – բուրգի նիստերը, որ ընդհանուր գագաթ ունեցող եռանկյուններ են։
Կողմնային կողեր – կողմնային նիստերի ընդհանուր կողմերը։
Բուրգի գագաթ – այն կետը, որը միացնում է կողմնային կողերը և ընկած չէ հիմքի հարթությունում։
Բարձրություն – բուրգի գագաթից նրա հիմքի հարթությանը տարված ուղղահայացի մի հատված (այդ հատվածի ծայրակետերն են բուրգի գագաթը և ուղղահայացի հիմքը)։
Բուրգի անկյունագծային հատույթ – բուրգի հատույթը, որը անցնում է գագաթով և հիմքի անկյունագծով։
Հիմք – բազմանկյուն, որին չի պատկանում բուրգի գագաթը։
Հարթագիծ – կանոնավոր բուրգի կողմնային նիստի բարձրությունը՝ տարված նրա գագաթից։
n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող (n-ը հիմքի կողերն են, n-ը՝ կողմնային կողերը), n+1 գագաթ և n+1 նիստ, ընդ որում՝ այդ նիստերից մեկը նրա հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։
Եթե բոլոր կողմնային կողերը հավասար են, ապա.
Բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ընդ որում՝ բուրգի գագաթի պրոյեկցիան կլինի դրա կենտրոնում,
Կողմնային կողերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ,
Ճիշտ է նաև հակառակ դրույթը, այսինքն՝ եթե կողմնային կողերը հիմքհ հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, կամ եթե բուրգի հիմքին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, որի կենտրոնը համընկնում է բուգի գագաթի պրոյեկցիայի հետ, ապա բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հավասար են։
Եթե կողմնային նիստերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ, ապա.
Բուրգի հիմքին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ընդ որում` բուրգի գագաթի պրոյեկցիան համընկնում է նրա կենտրոնի հետ,
Կողմնային նիստերի բարձրությունները հավասար են,
Բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողմնային նիստի բարձրության արտադրյալի կեսին։
Կանոնավոր բուրգին արտագծված գունդ. SD — բուրգի բարձրություն, AD — հիմքին արտագծված շրջանագծի շառավիղ, В — կողմնային նիստի կողմի միջնակետ, С — Կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետ, AC=CS — բուրգին արտագծված գնդի շառավիղԿանոնավոր բուրգին ներգծված գունդ. D — հիմքի կենտրոն SF — հարթագիծ ASD — կողերի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն, BCE — հիմքի ու կողմնային նիստի կազմած անկյան կիսորդով անցնող հարթություն, С — բոլոր կիսորդային հարթությունների հատման կետը, CK=CD — բուրգին ներգծված գնդի շառավիղ
Գունդ
Բուրգին կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքում ընկած է այնպիսի բազմանկյուն, որի շուրջ կարելի է արտագծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ և բավարար պայման)[5]։ Գնդի կենտրոնը կլինի կողմնային կողերի միջնակետերով անցնող և նրանց ուղղահայաց հարթությունների հատման կետը։ Այս թեորեմից հետևում է, որ յուրաքանչյուր եռանկյուն բուրգի, ինչպես նաև ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է արտագծել գունդ։
Բուրգին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ այն դեպքում, երբ բուրգի ներքին երկնիստ անկյունների կիսորդային հարթությունները հատվում են մեկ կետում (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։ Այդ կետը կլինի գնդի կենտրոնը։
Կոն
Կոնը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը ներգծված է բուրգի հիմքին։ Կոնը կարելի է ներգծել բուրգին միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հարթագծերը միմյանց հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)[6]։
Կոնը արտագծված է բուրգին, երբ նրանց գագաթները համընկնում են, իսկ կոնի հիմքը արտագծած է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ կոնը բուրգին կարելի է արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի կողմնային կողերը հավասար են (անհրաժեշտ և բավարար պայման)։
Այդպիսի կոների և բուրգերի բարձրությունները հավասար են։
Գլան
Գլանը կոչվում է բուրգին ներգծված, եթե նրա մի հիմքը համընկնում է բուրգի հիմքին զուգահեռ հարթությանը պատկանող հատույթին ներգծված շրջանագծին, իսկ մյուս հիմքը պատկանում է բուրգի հիմքի հարթությանը։
Գլանը կոչվում է բուրգին արտագծված, եթե բուրգի գագաթը պատկանում է նրա մի հիմքին, իսկ մյուս հիմքը արտագծված է բուրգի հիմքին։ Ընդ որում՝ բուրգին կարելի է գլան արտագծել միայն այն դեպքում, երբ բուրգի հիմքը այնպիսի բազմանկյուն է, որին կարելի է ներգծել շրջանագիծ (անհրաժեշտ ու բավարար պայման)։
Եռանկյուն բուրգի (տետրաեդր) ծավալը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով[7].
որտեղ հատվող կողերն են, -ն՝ և կողերի հեռավորությունը, -ը՝ և կազմած անկյունը,
Կողմնային մակերևույթի մակերեսը կոմնային նիստերի մեկերեսների գումարն է.
Լրիվ մակերևույթի մակերեսը կողմնային մակերևույթի մակերեսի և հիմքի մակերեսի գումարն է.
Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով.
որտեղ -ն հարթագիծն է, -ն՝ հիմքի պարագիծը, -ն հիմքի կողմերի թիվը, -ն՝ կողմնային կողը, -ն՝ գագաթին կից հարթ անկյունը։
Կանոնավոր հնգանկյուն բուրգի փռվածք 1. հիմքի հարթությունում («աստղ») 2. կողմնային նիստերից մեկի հարթությունում
Կանոնավոր բուրգ
Բուրգը կոչվում է կանոնավոր, եթե դրա հիմքը կանոնավոր բազմանկյուն է, իսկ գագաթը պրոյեկցվում է նրա հիմքի կենտրոնում։ Այդ դեպքում այն ունի հետևյալ հատկությունները.
Կանոնավոր բուրգի կողմնային կողերը հավասար են,
Կանոնավոր բուրգի բոլոր կողմնային նիստերը համընկնող հավասարասրուն եռանկյուններն են,
Եթե ներգծած և արտագծած շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են, ապա բուրգի գագաթին կից հարթ անկյունների գումարը հավասար է , իսկ նրանցից յուրաքանչյուրը համապատասխանաբար , որտեղ n-ը բազմանկյան հիմքի կողմերի թիվն է[8],
Կանոնավոր բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և հարթագծի արտադրյալի կեսին։
Ուղղանկյուն բուրգ
Բուրգը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա կողմնային կողերից մեկը ուղղահայաց է հիմքին։ Այդ դեպքում այս կողն էլ բուրգի բարձրությունն է։
Տետրաէդր
Տետրաէդր կոչվում է եռանկյուն բուրգը։ Տետրաէդրի նիստերից յուրաքանչյուրը կարող է համարվել բուրգի հիմքը։ Բացի այդ, մեծ տարբերություն կա «կանոնավոր եռանկյունի բուրգ» և «կանոնավոր քառանիստ» հասկացությունների միջև։ Կանոնավոր եռանկյուն բուրգը կանոնավոր եռանկյուն հիմքով բուրգ է (նիստերը պետք է լինեն հավասարասրուն եռանկյուններ)։ Կանոնավոր տետրաէդր է այն քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։
Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 2003.— 271с.— ISBN 5-09-010773-4
Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.— 3-е изд..— М.: КомКнига, 2007.— 456с.— ISBN 978-5-484-00848-3
Саакян С. М., Бутузов В. Ф. Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя.— 4-е изд., дораб..— М.: Просвещение, 2010.— 248с.— (Математика и информатика).— ISBN 978-5-09-016554-9
Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений.— 8-е изд.— М.: Просвещение, 2008.— 175с.— 60 000 экз.— ISBN 978-5-09-019708-3
Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 2003.— 271с.— ISBN 5-09-010773-4
Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс.— 2-е изд.— М.: Физматкнига, 2005.— 332с.— ISBN 5-89155-134-9
Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений.— 8-е изд.— М.: Просвещение, 2008.— 175с.— 60 000 экз.— ISBN 978-5-09-019708-3
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 2, էջ 618)։
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.