HY
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Պի (տառ)

Պի (տառ)

From Wikipedia, the free encyclopedia

Պի
•
•
•
•
•
ՀամագրություններՆշանակումներըՀարաբերություններՏես նաևԾանոթագրություններ

Պին (հունարեն` πι), հունական այբուբենի տասնվեցերորդ տառն է։ Հունական այբուբենում թվային արժեքն է` 80։ Այդ տառից է առաջացել Կիրիլիցայի П տառը։

 Այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։
Դուք կարող եք բարելավել հոդվածը՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով դրանց հղումները հոդվածին։
Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։
Տե՛ս նաև՝ Պի (այլ կիրառումներ)
Արագ փաստեր Հունական այբուբեն, Պատմություն ...
Հունական այբուբեն
ΑαԱլֆա ΝνՆյու
ΒβԲետա ΞξՔսի
ΓγԳամմա ΟοՕմիկրոն
ΔδԴելտա ΠπՊի
ΕεԷպսիլոն ΡρՌո
ΖζՁետա ΣσςՍիգմա
ΗηԷտա ΤτՏաու
ΘθԹետա ΥυԻփսիլոն
ΙιՅոտա ΦφՖի
ΚκԿապպա ΧχԽի
ΛλԼամբդա ΨψՓսի
ΜμՄյու ΩωՕմեգա
Պատմություն
Հնագույն տեղային տարբերակներ
 · · · · ·
Կցագրեր (ϛ, ϗ, ȣ) ·Տարբերանշաններ
Թվեր՝ (6) · (90) · (900)
Այլ լեզուներում
Բակտրիերեն · Ղպտերեն · Ալբաներեն
Գիտական նշաններ
Կատեգորիա • Commons
  • դիտել
  • քննարկել
  • խմբագրել
Փակել
Π π

Համագրություններ

  • Հայկական` Պ
  • Կիրիլիցայի` П
  • Լատինական` P
  • Թամիլական` ப்
  • Վրացական` პ
  • Եբրայական` פּ

Նշանակումները

Thumb Մեծ Π տառով՝

  • Մաթեմատիկայում ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } {\displaystyle \textstyle \prod }-ով արտահայտվում է արտադրիչների արտադրյալը, այնպես, ինչպես ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } {\displaystyle \textstyle \sum }-ով՝ գումարը։

Փոքրատառ π-ով՝

  • Մաթեմատիկական π ≈ 3.14159…, հաստատունը՝ շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։
  • π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} {\displaystyle \pi (x)} ֆունկցիան x {\displaystyle x} {\displaystyle x}-ին չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։.
  • պի-մեզոն տարրական մասնիկը
π թվի հաշվարկման համար շատ մանաձևեր կան

Հարաբերություններ

Հայտնի են π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } թվի կիրառման շատ տարբերակներ՝

  • Վիետի ֆորմուլան π թվի համար՝
2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋅ … {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots } {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }
pi թվի կիրառմումը գործողությունների մեջ՝ sin ⁡ ( 2 ⋅ θ ) = 2 ⋅ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ {\displaystyle \sin(2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta } {\displaystyle \sin(2\cdot \theta )=2\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta }, որի արդյունքում ստացվում է՝
ϕ ⋅ cos ⁡ ϕ 2 ⋅ cos ⁡ ϕ 4 ⋯ = sin ⁡ ϕ {\displaystyle \phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi } {\displaystyle \phi \cdot \cos {\tfrac {\phi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\phi }{4}}\cdots =\sin \phi }
մնում է ավելացնել ϕ = π 2 {\displaystyle \phi ={\tfrac {\pi }{2}}} {\displaystyle \phi ={\tfrac {\pi }{2}}}ր և կիրառել կրկնակի կոսինուսի բանաձևը՝
  • Վալիսի բանաձև։
2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = π 2 {\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}} {\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
  • Լայբնիցի շարք՝
1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = π 4 {\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}} {\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
  • այլ շարքեր՝
π = 1 2 ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 8 8 k + 2 + 4 8 k + 3 + 4 8 k + 4 − 1 8 k + 7 ) = 1 4 ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 8 8 k + 1 + 8 8 k + 2 + 4 8 k + 3 − 2 8 k + 5 − 2 8 k + 6 − 1 8 k + 7 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 4 k ( 2 4 k + 1 + 2 4 k + 2 + 1 4 k + 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}
π = 2 3 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 3 k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}} {\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}}
  • բազմակի շարքեր՝
π = 8 ∑ k = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ 1 ( 4 m − 2 ) 2 k = 4 ∑ k = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ m 2 − k 2 ( m 2 + k 2 ) 2 = 360 ∑ k = 1 ∞ ∑ m = 1 k 1 m ( k + 1 ) 3 4 {\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}} {\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}
  • Սահմաններ՝
π = lim m → ∞ ( m ! ) 4 2 4 m [ ( 2 m ) ! ] 2 m {\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}} {\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}
π = 6 lim n → ∞ ∏ k = 1 p k ∈ P n ( 1 − 1 p k 2 ) → {\displaystyle \pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to } {\displaystyle \pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to } здесь p k {\displaystyle p_{k}} {\displaystyle p_{k}} — простые числа
π = lim n → ∞ 2 n ⋅ 2 − 2 + 2 + 2 + ⋯ + 2 {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}} {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}, որտեղ n {\displaystyle n} {\displaystyle n} հավասար է արտահայտության արմատին[1]։
  • Էյլեր (համընդհանուր անալիզ)՝
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}
  • Հաստատուն մեծությունների այլ կապերի՝
π e = 2 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 2 k − 1 ) 2 k − 1 ( k k + 1 ) 2 k {\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}} {\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
π ⋅ e = 6 ∏ k = 1 ∞ ( 2 k + 3 2 k + 1 ) 2 k + 1 ( k k + 1 ) 2 k {\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}} {\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
  • Պուասոնի ինտեգրալ կամ Գաուսի ինտեգրալ՝
∫ − ∞ + ∞   e − x 2 d x = π {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}} {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
∫ 0 ∞ B r ( x ) e B r 4 ( x ) d x = π , {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},} {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},}, որտեղ B r ( x ) {\displaystyle Br(x)} {\displaystyle Br(x)} — Բրինգի արմատն է։
  • Ինտեգրալային սինուս`
∫ − ∞ + ∞ sin ⁡ x x d x = π {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi } {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }
  • Արտահայտություն երկխոսության միջոցով[2]`
π = 6 ln 2 ⁡ 2 + 12   Li 2 ⁡ ( 1 2 ) {\displaystyle \pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}} {\displaystyle \pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}}
  • անկախ ինտեգրալով՝
∫ 0 + ∞ d x ( x + 1 ) x = π {\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi } {\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }

Տես նաև

  • Հունարենի այբուբեն

Ծանոթագրություններ

  1. [1]
    Ромер П. Новое выражение для π(ռուս.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 97. — С. 2—4.
  2. [2]
    Weisstein, Eric W., "Pi Squared", MathWorld.
Մանրամասն տեղեկատվություն Հունական այբուբեն ...
Հունական այբուբեն

Α • Β • Γ • Δ • Ε • Ζ • Η • Θ • Ι • Κ • Λ • Μ • Ν • Ξ • Ο • Π • Ρ • Σ • Τ • Υ • Φ • Χ • Ψ • Ω

Փակել
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.