Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագիծ է կոչվում այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են, այսինքն, հանդիպակաց կողմերը գտնվում են զուգահեռ ուղիղների վրա։ Զուգահեռագծի մասնավոր օրինակներ են ուղղանկյունը, քառակուսին և շեղանկյունը։

Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները

• Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են։
• ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|CD\right|,\left|AD\right|=\left|BC\right|}$.

Ապացույց։ AB || CD => < ABD = < BDC, հետևում է խաչադիր անկյունների հավասարությունից AD || BC => < ADB = < DBC, DB-ն ընդհանուր է ուրեմն ABD և BCD եռանկյունները հավասար են։ Դրանից հետևում է, որ AD - ն հավասար է BC - ին և AB -ն հավասար է BC -ին։

• Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են։
• ${\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D.}$
• Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատման կետում կիսվում են։
• ${\displaystyle \left|AE\right|=\left|EC\right|,\left|BE\right|=\left|ED\right|}$.

Ապացույց՝ BC = AD ըստ առաջին հատկության, <ADE = < EBC, < ECB = < EAD (խաչադիր անկյուններ) => եռանկյուններ AED -ն և BEC - ն հավասար են, ուրեմն AE = EC, DE = EB։

• Զուգահեռագծի կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է ։
• ${\displaystyle \angle A+\angle B=180^{o},\angle B+\angle C=180^{o},\angle C+\angle D=180^{o},\angle A+\angle D=180^{o}.}$
• Զուգահեռագծի ցանկացած անկյունագիծ այն բաժանում է 2 հավասար եռանկյունների։
• ${\displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC,\Delta ABD=\Delta BDC.}$
• Զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը հանդիսանում է զուգահեռագիծի սիմետրիայի կենտրոնը։
• Զուգահեռագծի անկյունների գումարը հավասար է 360°։
• Զուգահեռագծի նույնություն

Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա երկու կից կողմերի քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։

${\displaystyle AC=d_{1},BD=d_{2},AD=BC=a,AB=DC=b.}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}$

Զուգահեռագծի հայտանիշները

ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե կատարվում է հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը՝

• Հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են.
• ${\displaystyle \left|AB\right|=\left|CD\right|,\left|AD\right|=\left|BC\right|}$.
• Հանդիպակաց անկյունները զույգ առ զույգ հավասար են.
• ${\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D.}$
• Անկյունագծերը հատման կետում կիսվում են.
• ${\displaystyle \left|AE\right|=\left|EC\right|,\left|BE\right|=\left|ED\right|}$.
• Կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է.
• ${\displaystyle \angle A+\angle B=180^{o},\angle B+\angle C=180^{o},\angle C+\angle D=180^{o},\angle A+\angle D=180^{o}.}$
• Հանդիպակաց կողմերը իրար զուգահեռ են և հավասար.
• ${\displaystyle AB=CD,AB\parallel CD}$.

Ապացույց։ < EAD = < ECB, < EDA = < EBC => Եռանկյուն AED -ն հավասար է եռակյուն BEC => AE = EC, BE = DE, < AEB = < CED (< AED = < BEC, հակադիր անկյունների հավասարությունից, իսկ <AED -ն և <BEA -ն կից են) => եռանկյուն AEB = եռանկյուն DEC։ Դրանից հետևում է, որ AB -ն զուգահեռ է DC -ին։ Ուրեմն ABCD -ն զուգահեռագիծ է։

• Ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերի միջև հեռավորությունների գումարը հավասար է նրա կիսապարագծին.
• Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների կրկնապատիկների գումարին.
• ${\displaystyle ~AC^{2}+BD^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}}$

Զուգահեռագծի մակերեսը

${\displaystyle S=a\times h}$, որտեղ ${\displaystyle a}$-ն կողմն է, ${\displaystyle h}$-ը`այդ կողմին տարված բարձրությունը։

${\displaystyle S=a\times b\times \sin \alpha }$, որտեղ ${\displaystyle a}$-ն և ${\displaystyle b}$-ն կողմերն են, իսկ ${\displaystyle \alpha }$ - ն ${\displaystyle a}$ և ${\displaystyle b}$ կողմերի կազմած անկյունն է։

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}AC\times BD\times \sin \angle AOB}$, որտեղ AC-ն և BD-ն զուգահեռագծի անկյունագծերն են, իսկ ${\displaystyle \angle AOB}$-ն՝ նրանց կազմած անկյունը։

Զուգահեռագծի պարագիծը

${\displaystyle P=2\times (a+b)}$, որտեղ ${\displaystyle a}$-ն և ${\displaystyle b}$-ն զուգահեռագծի կողմերն են։

Մեդիա ֆայլեր

Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Զուգահեռագիծ կատեգորիայում։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 713)։