Շրյոդինգերի պատկերացում

Շրյոդինգերի պատկերացում^[1], Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում^[2][3]։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ քվանտային դիտարկելին (անգլ․ observable) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։

Էրվին Շրյոդինգերը (1887 – 1961)
1933 թվականին Շրյոդինգերը Պոլ Դիրակի հետ համատեղ ֆիզիկայի Նոբելյան մրցանակ ստացավ քվանտային մեխանիկայում իր ներդրումների համար

Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է ${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }$ վիճակի վեկտոր t₀պահին ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ վիճակի վեկտորին t պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է ${\displaystyle U(t,t_{0})}$, և ունենք

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի

${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar },}$

տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։

Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ H, այսինքն՝ ${\displaystyle \partial _{t}H=0}$։

Հիմքը

Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է ψ(x, t) կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (բրե֊քիտ նշանակումներ, անգլ․՝ bra-ket notation), ${\displaystyle |\psi \rangle }$։ Այս նշանակումը հիլբերտյան տարածության տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է ${\displaystyle |\psi \rangle }$ «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ ${\displaystyle |\psi '\rangle }$։

Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը պետք է տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել ${\displaystyle |\psi \rangle }$ վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }$, ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի ${\displaystyle |\psi \rangle }$ վիճակի վեկտորով, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։

Էվոլյուցիայի օպերատոր

Սահմանում

U(t, t₀) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա t₀ պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ t պահին․

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$

Հատկություններ

• Ունիտարություն

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$։

Ուստի,

${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I}$։

• Նույնականություն

Եթե t = t₀, ապա U֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

• Փակում

Էվոլյուցիան t₀֊ից t կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ t₀֊ից t₁ միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ t₁֊ից վերջնական t վիճակին։ Այսպիսով՝

${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})}$։

Դիֆերենցիալ հավասարումը ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի համար

Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի t₀ ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ t₀ = 0 և այն գրել որպես U(t)։ Շրյոդինգերի հավասարումը՝

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$

որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի U օպերատորը՝ գրելու համար ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$, կունենանք

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle }$։

Քանի որ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը t = 0֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)}$

հավասարմանը։ Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի^{[Ն 1]}

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$։

Քանի որ H֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝

${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots }$։

Այսպիսով,

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$։

Նշենք, որ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է E սեփական արժեքով, կստանանք

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle }$։

Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես

${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։

Բոլոր պատկերացումների համեմատական աղյուսակ

Էվոլյուցիա	Պատկերացում
ըստ	Հայզենբերգի	Փոխազդեցութան	Շրյոդինգերի
«Քիտ» վիճակ	հաստատուն	${\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}~t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle }$	${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle =e^{-iH_{S}~t/\hbar }|\psi _{S}(0)\rangle }$
Դիտարկելի (անգլ․ observable)	${\displaystyle A_{H}(t)=e^{iH_{S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{S}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }}$	հաստատուն
խտության մատրից	հաստատուն	${\displaystyle \rho _{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{S}(t)=e^{-iH_{S}~t/\hbar }\rho _{S}(0)e^{iH_{S}~t/\hbar }}$

Տես նաև

• Հայզենբերգի պատկերացում
• Փոխազդեցության պատկերացում

Ծանոթագրություններ

1. Այստեղ օգտագործել ենք այն փաստը, որ t = 0, U(t)֊ն պետք է կրճատվի նույնական օպերատորի

1. «Schrödinger representation». Encyclopedia of Mathematics. Վերցված է 2013 թ․ սեպտեմբերի 3-ին.
2. Parker, C.B. (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). McGraw Hill. էջեր 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
3. Y. Peleg; R. Pnini; E. Zaarur; E. Hecht (2010). Quantum mechanics. Schuam's outline series (2nd ed.). McGraw Hill. էջ 70. ISBN 9-780071-623582.

Արտաքին հղումներ

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. էջեր 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. {{cite book}}: |volume= has extra text (օգնություն) Online copy
• R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907 .
• J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295 .