Շրյոդինգերի պատկերացում
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
Շրյոդինգերի պատկերացում[1], Շրյոդինգերի պատկեր, քվանտային մեխանիկայի ձևակերպում, որտեղ քվանտային վիճակի վեկտորը փոփոխվում է ժամանակի ընթացքում, բայց օպերատորները հաստատուն են մնում[2][3]։ Սա տարբերվում է Հայզենբերգի ներկայացումից, որը վիճակը հաստատուն է պահում, մինչ քվանտային դիտարկելին (անգլ․ observable) փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում, և փոխազդեցության ներկայացումից, որտեղ և վիճակը, և դիտարկելին փոփոխվում են ժամանակի ընթացքում։ Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի պատկերացումները կապված են ակտիվ և պասիվ ձևափոխությունների հետ և կոմուտացման առնչությունները օպերատորների միջև պահպանվում են մմի պատկերից մյուսին անցնելիս։
Շրյոդինգերի պատկերում համակարգի վիճակը զարգանում է ժամանակի ընթացքում։ Փակ քվանտային համակարգի զարգացումը տրվում է ունիտար օպերատորով՝ ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորով։ Քանի որ ժամանակի ձևավորում է վիճակի վեկտոր t0պահին վիճակի վեկտորին t պահին, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սովորաբար գրվում է , և ունենք
Այն դեպքում, երբ համակարգի համիլտոնյանը չի փոխվում ժամանակի ընթացքում, ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը ունի
տեսքը, որտեղ էքսպոնենտը հաշվարկվում է Թեյլորի շարքի միջոցով։
Շրյոդինգերի պատկերացումն օգտակար է, երբ գործ ունենք ժամանակից անկախ համիլտոնյանի հետ H, այսինքն՝ ։
Քվանտային մեխանիկայում քվանտամեխանիկական համակարգի վիճակը ներկայացվում է ψ(x, t) կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայով։ Ավելի աբստրակտ կերպով վիճակը կարող է ներկայացվել վիճակի վեկտորի տեսքով կամ փակագծային նշանակումներով (բրե֊քիտ նշանակումներ, անգլ․՝ bra-ket notation), ։ Այս նշանակումը հիլբերտյան տարածության տարր է՝ վեկտորական տարածություն, որը պարունակում է համակարգի բոլոր հնարավոր վիճակները։ Քվանտամեխանիկական օպերատորը ֆունկցիա է, որը որպես արգումենտ վերցնում է «քիտը» և ներկայացնում է այլ քիտ՝ ։
Քվանտային մեխանիկայի Շրյոդինգերի և Հայզենբերգի ներկայացումների տարբերությունները գործ ունեն ժամանակի ընթացքում փոխվող համակարգերի հետ, համակարգի՝ ժամանակից կախված բնույթը պետք է տեղի ունենա վիճակի վեկտորների և օպերատորների որոշ կոմբինացիայով։ Օրինակ, քվանտային ներդաշնակ տատանակը կարող է լինել վիճակում, որի համար իմպուլսի սպասվող արժեքները՝ , ժամանակի ընթացքում փոխվում են սինուսոիդով։ Կարելի է հարցնել, թե սինուսոիդալ տատանումը պետք է արտացոլվի վիճակի վեկտորով, իմպուլսի օպերատորով կամ թե երկուսն էլ։ Այս երեք ընտրություններն էլ ճիշտ են, առաջինը տալիս է Շրյոդինգերի պատկերացումը, երկրորդը՝ Հայզենբերգի պատկերացումը, երրորդը՝ փոխազդեցության պատկերացումը։
U(t, t0) ժամանակային էվոլյուցիայի օպերատորը սահմանվում է որպես մի օպերատոր, որն ազդում է «քիտի» վրա t0 պահին՝ ստանալու համար քիտը ժամանակի մի այլ t պահին․
Փակագծային նշանակումներով ունենք ունենք
Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է լինի ունիտար, քանի որ մենք պահանջ ենք դնում, որ վիճակի քիտի նորմը պետք է չփոխվի ժամանակի ընթացքում։ Այսինքն՝
Ուստի,
Եթե t = t0, ապա U֊ն նույնական օպերատոր է, քանի որ
Էվոլյուցիան t0֊ից t կարելի է դիտարկել որպես երկու քայլանի ժամանակային էվոլյուցիա, սկզբում՝ t0֊ից t1 միջանկյալ վիճակին, և ապա՝ t1֊ից վերջնական t վիճակին։ Այսպիսով՝
Ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորի t0 ինդեքսը կարելի է անտեսել, պայմանով, որ t0 = 0 և այն գրել որպես U(t)։ Շրյոդինգերի հավասարումը՝
որտեղ H֊ը համիլտոնյանն է։ Կիրառելով ժամանակի էվոլյուցիայի U օպերատորը՝ գրելու համար , կունենանք
Քանի որ հաստատուն «քիտ» է («քիտ» վիճակը t = 0֊ում) և քանի որ վերևի հավասարումը հիլբերտյան տարածությունում ճիշտ է ցանկացած հաստատուն «քիտի» համար, ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը պետք է ենթարկվի
հավասարմանը։ Եթե համիլտոնյանն անկախ է ժամանակից, վերևի հավասարման լուծումը կլինի[Ն 1]
Քանի որ H֊ը օպերատոր է, էքսպոնենցիալ արտահայտությունը կհաշվարկվի Թեյլորի շարքի միջոցով՝
Այսպիսով,
Նշենք, որ ֊ն կամայական քիտ է։ Սակայն եթե սկզբնական «քիտը» համիլտոնյանի սեփական վիճակ է E սեփական արժեքով, կստանանք
Այսպիսով տեսնում ենք, որ համիլտոնյանի սեփական վիճակները ստացիոնար վիճակներ են։
Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերին համիլտոնյանները կոմուտացվում են, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես
Եթե համիլտոնյանը կախված է ժամանակից, բայց տարբեր պահերի համիլտոնյաները չեն կոմուտացվում, ապա ժամանակի էվոլյուցիայի օպերատորը կարելի է գրել որպես
որտեղ T֊ն ժամանակակարգավորված օպերատոր է, երբեմն հայտնի է Դայսոնի շարք անունով։
Էվոլյուցիա | Պատկերացում | ||
ըստ | Հայզենբերգի | Փոխազդեցութան | Շրյոդինգերի |
«Քիտ» վիճակ | հաստատուն | ||
Դիտարկելի (անգլ․ observable) | հաստատուն | ||
խտության մատրից | հաստատուն | ||
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.