Գունդ

Գնդի մակերևույթը (գնդոլորտը կամ սֆերան (հուն․՝ σφαῖρα)) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն, իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Ոլորտով պարփակված և ոլորտի կենտրոնը պարունակող տարածության մասը կոչվում է գունդ։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը^[1]։

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Գունդ (այլ կիրառումներ)

Անալիտիկ երկրաչափություն

Անալիտիկ երկրաչափության տեսակետից ոլորտը 2-րդ կարգի կենտրոնավոր մակերևույթ է, որի հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգում ունի

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}}$

տեսքը, որտեղ a, b, c-ն ոլորտի կենտրոնի կոորդինատներն են։

Գունդը բնութագրող բանաձևերը

Մակերևույթի մակերեսը	${\displaystyle S_{O}\,=\,4\pi r^{2}}$
Ծավալը	${\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
Սեգմենտի ծավալը	${\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}$
Իներցիայի մոմենտը	${\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}$

Ապացույց  

Վերցնենք ${\displaystyle R}$ շառավղով չորս շրջան որոնց կենտրոնները գտնվում են ${\displaystyle \left(R;0\right)}$ կետում։ Այդ շրջանի շրջանագծի հավասարումն է՝ ${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$, որտեղից ${\displaystyle y^{2}=2Rx-x^{2}}$։

${\displaystyle y={\sqrt {2Rx-x^{2}}},x\in (0;R)}$ ֆունկցիան անընդհատ է, աճող և ոչ բացասական։ ${\displaystyle Ox}$ առանցքի շուրջ շրջանի էարորդի պտտման դեպքում կստացվի կիսագունդ, հետևաբար՝

${\displaystyle {1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(2Rx-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(Rx^{2}-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}}$

Որտեղից ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

• ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$

Ապացույց  

${\displaystyle d=2R,V={4 \over 3}\pi R^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

Գնդի հասկացությունը մետրական տարածության մեջ բնականորեն ընդանրացնում է գնդի հասկացությունը էվկլիդյան երկրաչափությունում։

Գնդային գոտի

Գունդ

Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև, իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։

Գնդային սեկտոր

Գնդային սեկտոր

Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։ Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝ ${\displaystyle S=2\pi Rh}$ որտեղ ${\displaystyle R}$-ը գնդի շառավիղն է, ${\displaystyle h}$-ը՝ գնդային գոտու բարձրությունը, ${\displaystyle \pi }$-ն մոտավորապես հավասար է 3.14։ Եթե գնդի շառավիղը ${\displaystyle R}$ է, իսկ սեգմենտի բարձրությունը՝ ${\displaystyle h}$, ապա գնդային սեկտորի ծավալը հաշվում է ${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h}$ բանաձևով։

Թեորեմ

Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում, եթե գնդի շառավիղը հավասար է ${\displaystyle R}$, իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է ${\displaystyle d}$, ապա հատույթի շառավիղը հավասար է ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-d^{2}}}}$։

Ապացույց

Դիցուք ${\displaystyle O}$-ն գնդի կենտրոնն է, ${\displaystyle O'}$-ը գնդի կենտրոնի պրոյեկցիան է հատույթի հարթության վրա, ${\displaystyle OO'=|x|}$, ${\displaystyle A}$-ն սֆերայի և հատույթի հարթությանը պատկանող որևէ կետ է։ Ստացված ${\displaystyle OO'A}$ եռանկյունում ${\displaystyle \angle OO'A=90^{\circ }}$ ։ Հետևաբար ${\displaystyle O'A={\sqrt {OA^{2}-O'O^{2}}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {R^{2}-|x|^{2}}}}$։ Այստեղից հետևում է, որ ${\displaystyle A}$-ն պատկանում է հատույթի հարթության մեջ ընկած ${\displaystyle O'}$ կենտրոնով և ${\displaystyle r}$ շառավղով շրջանագծին։ Դժվար չէ ստուգել, որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա։

Գնդին ներգծված և արտագծված մարմիններ

• Բազմանիստը կոչվում է գնդային մակերևույթին արտագծած, եթե գնդային մակերևույթը շոշափում է նրա բոլոր նիստերը։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է ներգծված բազմանիստին։

• Բազմանիստը կոչվում է ներգծած գնդային մակերևույթին, եթե նրա բոլոր գագաթները ընկած են գնդային մակերևույթի վրա։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է արտագծված բազմանիստին։

• Եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա։
• Կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված գլանին, եթե այն շոշափում է գլանի հիմքերը և բոլոր ծնորդները։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված կոնին, եթե այն շոշափում է կոնի հիմքը և բոլոր ծնորդները։
• Գլանը կոչվում է ներգծված գնդային մակերևույթին, եթե գլանի հիմքերը գնդային մակերևույթի հատույթներ են։